Research on rational points on moduli spaces over global fields

全局域模空间有理点研究

• 批准号: 21K03187
• 负责人: 新井 啓介
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: Tokyo Denki University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03187/
• 关键词: 大域体; モジュライ; 有理点; モジュライ空間

アーベル多様体は、数論において、代数的観点からも幾何的観点からも重要な研究対象である。また、代数体と関数体の類似はよく知られている。1次元アーベル多様体、つまり楕円曲線の関数体類似としてDrinfeld加群があり、両者は類似するガロア表現をもつ。さらに、楕円曲線のモジュライであるモジュラー曲線と、（ランク2の）Drinfeld加群のモジュライであるような曲線は、類似する性質をもつことも知られている。本研究では、今年度、構造付きアーベル多様体のモジュライの代数体上の有理点を調べることを目標として研究を行った。アーベル多様体から定まるガロア表現の像は、アーベル多様体の付加構造（自己準同型環、部分群等）の影響を受けて特別な形状になる。その形状を群論的に解析し、指標の分類と組み合わせることにより、モジュライの有理点を調べることができる。アーベル多様体に複雑な構造を与えるほど有理点は少なくなると予測されるので、その予測に基づいて研究を進めた。モジュライのレベルが十分大きいとき、またはある特殊な条件下において、有理点の集合が空になる、あるいは自明な元のみから成る、という結果が期待される。そして今回は、有限体k上のアーベル多様体がQMをもつための必要十分条件を決定した。さらにその中で、kの素体上の次数が奇数の場合を特定することもできた。これにより、代数体上のQMアーベル多様体の非存在や、高次の代数体上の志村曲線の有理点の非存在を調べるための手がかりをつかめた。

从代数的角度和从几何学角度来看，Abelean流形都是数量理论的重要研究主题。同样，代数和功能体之间的相似性是众所周知的。德林菲尔德组是一维Abelean歧管的功能类似物，即椭圆曲线，并且都具有相似的Galois表示。还知道，模块化曲线是椭圆曲线的模块，而曲线是（等级2）德林菲尔德组的模块，具有相似的性质。今年，我们进行了一项研究，目的是检查结构化的ABEL歧管Modulai代数领域的理性点。由于Abelean歧管的附加结构（自同形环，亚组等）的影响，从Abelean歧管确定的Galois表示形式变成了特殊形状。通过分析小组理论中的形状并将其与指标的分类相结合，可以检查Modulai的理性点。据预测，Abelean歧管更复杂的结构将具有更少的理性点，因此根据该预测进行了研究。可以预期，当模量级别足够大，或者在某些特殊条件下，一组有理点是空的或仅由琐碎的来源组成。这次，我们确定了有限场K上ABEL歧管具有QM的必要条件。此外，还可以指定k底部顺序奇数的情况。这为我们提供了一个线索，以研究代数场上QM Abelean歧管的缺失，以及在高阶代数场上Shimura曲线中缺乏理性点。

项目成果

2021年度（第28回）整数論サマースクール「モジュラー曲線と数論」

2021年（第28届）数论暑期学校“模曲线与数论”

Middle East Technical University(キプロス)

中东技术大学（塞浦路斯）

Pennsylvania State University(米国)

宾夕法尼亚州立大学（美国）

有限体上のアーベル多様体がQMをもつ必要十分条件について

有限域上阿贝尔簇具有 QM 的充要条件

• 发表时间: 2023
• 作者: Hideo Kojima;Kyohei Hattori;新井 啓介
• 通讯作者: 新井 啓介

代数曲線の有理点入門とサマースクールの概説

代数曲线有理点介绍及暑期学校概况

• 发表时间: 2023
• 期刊: 2021年度(第28回)整数論サマースクール報告集「モジュラー曲線と数論」
• 作者: 服部京平;小島秀雄;新井 啓介
• 通讯作者: 新井 啓介