Research on rational points on moduli spaces over global fields

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アーベル多様体は、数論において、代数的観点からも幾何的観点からも重要な研究対象である。また、代数体と関数体の類似はよく知られている。1次元アーベル多様体、つまり楕円曲線の関数体類似としてDrinfeld加群があり、両者は類似するガロア表現をもつ。さらに、楕円曲線のモジュライであるモジュラー曲線と、（ランク2の）Drinfeld加群のモジュライであるような曲線は、類似する性質をもつことも知られている。本研究では、今年度、構造付きアーベル多様体のモジュライの代数体上の有理点を調べることを目標として研究を行った。アーベル多様体から定まるガロア表現の像は、アーベル多様体の付加構造（自己準同型環、部分群等）の影響を受けて特別な形状になる。その形状を群論的に解析し、指標の分類と組み合わせることにより、モジュライの有理点を調べることができる。アーベル多様体に複雑な構造を与えるほど有理点は少なくなると予測されるので、その予測に基づいて研究を進めた。モジュライのレベルが十分大きいとき、またはある特殊な条件下において、有理点の集合が空になる、あるいは自明な元のみから成る、という結果が期待される。そして今回は、有限体k上のアーベル多様体がQMをもつための必要十分条件を決定した。さらにその中で、kの素体上の次数が奇数の場合を特定することもできた。これにより、代数体上のQMアーベル多様体の非存在や、高次の代数体上の志村曲線の有理点の非存在を調べるための手がかりをつかめた。