Research on integrable geometry and submanifolds

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可積分幾何に関して，球面S^{n+1}内の等径超曲面Nのガウス像Lの位相のフレアホモロジーの計算で未解決部分の解決を目指した．まずN自身のコホモロジーの計算を新たな手法「Nを焦部分多様体F上の球面束として捉え，Thom-Gysin完全列を適用する」により行い成功した.従来はNがS^{n+1}を二つの円板束に分解することを用いるMunznerによる計算があるが，新しい方法では外部空間S^{n+1}の性質を用いないので，より多くの空間における等径超曲面の位相の計算にも適用可能である.また，ガウス像Lの位相の計算という本来の目的にも適用して部分的に成功した.LはNを有限巡回群Z_gで割った構造をもち，gが素数であればある程度計算ができるが，ここではg=4,6が問題なので，幾何学的な構造を反映した計算が必要となる.特にg=4に現れるClifford代数の表現に随伴する等径超曲面は非等質な例を無限に含み，幾何学的にも大変興味深い対象である.この場合の構造をかなりの段階まで明らかにした.特別な場合はLのコホモロ ジーという最終目的まで計算ができ，さらに最終目的であるFloerコホモロジーの計算に繋げる可能性を得た.これらの研究は大阪公立大の大仁田義裕教授，茨城大の入江博准教授とともに，Zoom検討会で継続して議論してきたが，今後は対面検討で研究を加速する.極小曲面に関する課題として，2次元戸田方程式の周期解を用いた複素射影空間におけるラグランジュ極小曲面の研究，および代数的極小曲面のガウス写像の除外値問題がある.前者については徳島大の國川慶太氏と議論している.後者については名大の小林亮一教授と研究しているが Nevanlinna理論を円板上で構築するという非常に難解な議論になっているので，普遍被覆に上げない議論についても検討中である.新たな課題としては，極小超曲面に関するChern予想をDupin超曲面について検討し，目処を得ている．