Research on integrable geometry and submanifolds

可积几何与子流形研究

• 批准号: 21K03214
• 负责人: 宮岡 礼子
• 金额: $ 1.5万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03214/
• 关键词: 等径超曲面; ガウス写像; フレア理論; ラグランジュ部分多様体; 極小曲面; 除外値問題; Chern予想; Dupin超曲面; 戸田方程式

可積分幾何に関して，球面S^{n+1}内の等径超曲面Nのガウス像Lの位相のフレアホモロジーの計算で未解決部分の解決を目指した．まずN自身のコホモロジーの計算を新たな手法「Nを焦部分多様体F上の球面束として捉え，Thom-Gysin完全列を適用する」により行い成功した.従来はNがS^{n+1}を二つの円板束に分解することを用いるMunznerによる計算があるが，新しい方法では外部空間S^{n+1}の性質を用いないので，より多くの空間における等径超曲面の位相の計算にも適用可能である.また，ガウス像Lの位相の計算という本来の目的にも適用して部分的に成功した.LはNを有限巡回群Z_gで割った構造をもち，gが素数であればある程度計算ができるが，ここではg=4,6が問題なので，幾何学的な構造を反映した計算が必要となる.特にg=4に現れるClifford代数の表現に随伴する等径超曲面は非等質な例を無限に含み，幾何学的にも大変興味深い対象である.この場合の構造をかなりの段階まで明らかにした.特別な場合はLのコホモロ ジーという最終目的まで計算ができ，さらに最終目的であるFloerコホモロジーの計算に繋げる可能性を得た.これらの研究は大阪公立大の大仁田義裕教授，茨城大の入江博准教授とともに，Zoom検討会で継続して議論してきたが，今後は対面検討で研究を加速する.極小曲面に関する課題として，2次元戸田方程式の周期解を用いた複素射影空間におけるラグランジュ極小曲面の研究，および代数的極小曲面のガウス写像の除外値問題がある.前者については徳島大の國川慶太氏と議論している.後者については名大の小林亮一教授と研究しているが Nevanlinna理論を円板上で構築するという非常に難解な議論になっているので，普遍被覆に上げない議論についても検討中である.新たな課題としては，極小超曲面に関するChern予想をDupin超曲面について検討し，目処を得ている．

In terms of integrable geometry, the solution of the unsolved part of the calculation of the phase of the equal-diameter hypersurface N in the sphere S^{n+1} is pointed out. A new method for calculating the number of nodes in N is proposed, which is called "spherical bundle on N focal part and Thom-Gysin complete array." The new method is applicable to the calculation of the phase of the equidiameter hypersurface in the outer space S^{n+1}. The calculation of the phase of the image L is applicable to the original purpose of the part of the success. L N is a finite circuit group Z_g cut structure, g prime number, degree calculation, g=4,6 problem, geometric structure reflection calculation is necessary. In particular, g=4 is the representation of Clifford algebra, which is accompanied by an equidiameter hypersurface, which is not equiquality, which is infinite, and which is interesting in geometry. In this case, the structure of the structure is different from that of the stage. In particular, the final goal is to calculate the probability of failure. This research was conducted by Professor Yoshihiro Ohito of Osaka Public University and Professor Hiroshi Irie of Ibaraki University. A study of minimal surfaces in complex prime projective spaces using periodic solutions of 2-dimensional equations. The former is a comment by Zhang Yongda and Keitai Kokugawa. The latter is generally covered by Nevanlinna theory. A new problem is that the minimal hypersurface is related to Chern's idea of Dupin hypersurface.

项目成果

Various aspects of isoparametric hypersurfaces

等参超曲面的各个方面

• 发表时间: 2022
• 作者: Endo Naoki;Goto Shiro;Isobe Ryotaro;Motoo Tange;吉田健一，奥間智弘，渡辺 敬一;田中真紀子;Reiko Miyaoka
• 通讯作者: Reiko Miyaoka

Review of my research

我的研究回顾

• 发表时间: 2023
• 作者: E. Naoki;S. Goto;Reiko Miyaoka
• 通讯作者: Reiko Miyaoka

第6回中国-日本幾何学研究集会

第六届中日几何研究会议

• 发表时间: 2021

Moment maps and isoparametric hypersurfaces of OT-FKM type

OT-FKM 类型的力矩图和等参超曲面

• DOI: 10.1007/s11425-020-1746-2
• 发表时间: 2021
• 期刊: Science China Mathematics
• 作者: Makiko Sumi Tanaka;Hiroyuki Tasaki and Osami Yasukura;Reiko Miyaoka
• 通讯作者: Reiko Miyaoka

Geometry of light wave fronts

光波前的几何形状

• 发表时间: 2022
• 作者: Endo Naoki;Goto Shiro;Isobe Ryotaro;宮岡礼子
• 通讯作者: 宮岡礼子