部分多様体の幾何学の展開と応用

極小等径超曲面のインデックスの計算は，主曲率の個数が３以下の場合は，Yan氏によってすでになされ，ここでは，4,6の場合を明らかにしたかったが，当初２年で行う計画が，やむを得ぬ事情で１年半で帰国という状況になったこともあり，まだ最終結論には至っていない．しかし，主曲率の個数6の場合は3の場合との対応がわかっており，しかも分類定理により，等質であることがわかっているので，3の場合を手掛かりに考えられると信じている，4の場合も2の場合との関連でとっかかりがありそうである．ただ，そのバンドル構造を明らかにすることは，かなりの計算を要するので未完成である．このインデックスの計算は，焦部分多様体という次元の下がった極小部分多様体に対しても，超曲面の極限として，調べることが重要である．実際，極小部分多様体に対してインデックスやナリティを調べることは，退化した部分に集約される情報を見出すことがヒントとなる．例えばクリフォード超曲面の場合，退化した極小部分多様体は単に低次元全測地的球面であるから，インデックスもナリティも簡単にわかる．そのチューブをとったものがクリフォード超曲面で，その中に極小のものが唯一現れるので，この様子を調べれば主曲率4の場合につながる．さらには3,6の対応につなげることも試みている．これにより，もう一つの課題である極小部分多様体の安定性を探ることになり，もし主曲率の個数４の場合にもこの議論ができると，非等質な場合の考察につながるので，より本質的である．最終結論には至らずとも，非等質なものをどう扱って良いのかは大きな課題である.さらにガウス写像の像が複素２次超曲面の極小ラグランジュ部分多様体になっていることから，その安定性を調べることにも関係してくる．いずれも等質な場合にリー群論を用いて，計算を行っている．

極小等径超曲面のインデックスの計算は，主曲率の個数が３以下の場合は，Yan氏によってすでになされ，ここでは，4,6の場合を明らかにしたかったが，当初２年で行う計画が，やむを得ぬ事情で１年半で帰国という状況になったこともあり，まだ最終結論には至っていない．しかし，主曲率の個数6の場合は3の場合との対応がわかっており，しかも分類定理により，等質であることがわかっているので，3の場合を手掛かりに考えられると信じている，4の場合も2の場合との関連でとっかかりがありそうである．ただ，そのバンドル構造を明らかにすることは，かなりの計算を要するので未完成である．このインデックスの計算は，焦部分多様体という次元の下がった極小部分多様体に対しても，超曲面の極限として，調べることが重要である．実際，極小部分多様体に対してインデックスやナリティを調べることは，退化した部分に集約される情報を見出すことがヒントとなる．例えばクリフォード超曲面の場合，退化した極小部分多様体は単に低次元全測地的球面であるから，インデックスもナリティも簡単にわかる．そのチューブをとったものがクリフォード超曲面で，その中に極小のものが唯一現れるので，この様子を調べれば主曲率4の場合につながる．さらには3,6の対応につなげることも試みている．これにより，もう一つの課題である極小部分多様体の安定性を探ることになり，もし主曲率の個数４の場合にもこの議論ができると，非等質な場合の考察につながるので，より本質的である．最終結論には至らずとも，非等質なものをどう扱って良いのかは大きな課題である.さらにガウス写像の像が複素２次超曲面の極小ラグランジュ部分多様体になっていることから，その安定性を調べることにも関係してくる．いずれも等質な場合にリー群論を用いて，計算を行っている．