代数多様体の標準計量と安定性の幾何学

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Kahler-Einstein 計量と呼ばれる標準的なKahler計量と代数多様体の安定性との関係は重要な問題である。現在は幾何学的フローや幾何学的量子化の視点からこれらの問題にアプローチしている。今年度の前半では、ベクトル束のHermite自己準同型に対し定義されるDonaldson汎関数に関する研究を行った。Donaldson汎関数を滑らかでない自己準同型まで拡張したとき、その最小点がHermite-Einstein計量を与えるかは明らかでない。しかし、もし最小点が自動的に滑らかになるのであれば、最小点の存在とDonaldson汎関数の強凸性が同値であることが示せた。このアイデアはKahler-Einstein計量に対するDarvas-Rubinsteinのアイデアに基づいており、Kahler-Einstein計量の研究に用いられたアイデアが様々な対象に適用できることを示している。今年度の後半では、Kahler-Ricci流とその代数幾何学的な対応物である最適退化について、いわゆる「幾何学的量子化」を用いてこれらを漸近的に構成する研究を行った。Kahler計量全体が成す無限次元空間は、大域切断に対するHermite内積全体が成す有限次元空間でよく近似できることが知られている。Kahler-Ricci流は前者の空間上の曲線と見なせ、エントロピー汎関数を減らす方向に流れていく。我々は後者の空間におけるKahler-Ricci流やエントロピー汎関数の対応物を定義し、それが類似の性質を満たすことを観察した。また、これらの対象の代数的な対応物として、同じ大域切断に対する非アルキメデス的な計量であってしかるべき汎関数を最小化するものを考察した。これは最適退化の有限次元における対応物と見なせる。