非線形楕円型方程式の固有値問題と逆問題の精密解析

本研究では、非線形楕円型方程式の固有値問題の精密解析を行い、分岐曲線や対応する解の漸近挙動を解明することを目的とする。本年度は前年度に得られた知見をふまえて、特にキルヒホッフ方程式から導かれる、非局所項を含む定常状態の常微分方程式の解と分岐曲線の詳細な解析に取り組んだ。具体的には、典型的な非局所項を含む方程式をはじめとして、過去に考察されたことのなかった対数的な非局所的キルヒホッフ関数をふくむような非線形常微分方程式の分岐問題を、タイムマップ法と呼ばれる常微分方程式論的方法を軸として考察した。その結果、いままでには知られていなかった、基本的な非局所項を持つ非線形固有値問題の第一固有値と固有関数を特定することに成功した。この結果は、今後、多次元の非局所的キルヒホッフタイプの非変形楕円型固有値問題に関しても、第一固有値に関する有力な情報が得られる可能性を与えたといえる結果なので、多次元の非局所的楕円型偏微分方程式の分岐問題に関する解析の発展につながる可能性を与えたといえる。このような方程式を研究対象とした理由としては、分岐曲線の大域的構造が、考察する方程式の特徴的構造、すなわち非線形項の性質を反映していることを考慮したからであり、このようなキルヒホッフ関数を非局所項に持つような、具体的な物理的背景をもつ方程式の分岐問題の解析に成功したことは、物理的観点からも意義深いものであるといえる。また、本年度得られた成果は、逆分岐問題、すなわち考察する方程式が未知の非局所項を含んでいるという問題設定の下で、分岐曲線の大域的形状などの特徴から未知の非局所項を決定するという、逆分岐問題の研究をしていくうえで、これまでにはなかった新しい研究方向を与えた。

本研究では、非線形楕円型方程式の固有値問題の精密解析を行い、分岐曲線や対応する解の漸近挙動を解明することを目的とする。本年度は前年度に得られた知見をふまえて、特にキルヒホッフ方程式から導かれる、非局所項を含む定常状態の常微分方程式の解と分岐曲線の詳細な解析に取り組んだ。具体的には、典型的な非局所項を含む方程式をはじめとして、過去に考察されたことのなかった対数的な非局所的キルヒホッフ関数をふくむような非線形常微分方程式の分岐問題を、タイムマップ法と呼ばれる常微分方程式論的方法を軸として考察した。その結果、いままでには知られていなかった、基本的な非局所項を持つ非線形固有値問題の第一固有値と固有関数を特定することに成功した。この結果は、今後、多次元の非局所的キルヒホッフタイプの非変形楕円型固有値問題に関しても、第一固有値に関する有力な情報が得られる可能性を与えたといえる結果なので、多次元の非局所的楕円型偏微分方程式の分岐問題に関する解析の発展につながる可能性を与えたといえる。このような方程式を研究対象とした理由としては、分岐曲線の大域的構造が、考察する方程式の特徴的構造、すなわち非線形項の性質を反映していることを考慮したからであり、このようなキルヒホッフ関数を非局所項に持つような、具体的な物理的背景をもつ方程式の分岐問題の解析に成功したことは、物理的観点からも意義深いものであるといえる。また、本年度得られた成果は、逆分岐問題、すなわち考察する方程式が未知の非局所項を含んでいるという問題設定の下で、分岐曲線の大域的形状などの特徴から未知の非局所項を決定するという、逆分岐問題の研究をしていくうえで、これまでにはなかった新しい研究方向を与えた。