シャドウによる3次元・4次元多様体の幾何構造の研究

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昨年度より継続していた2次元結び目のシャドウに関する研究について，証明の精査を行った．さらに，特殊シャドウ複雑度に関する考察を深めた．この研究に関する論文の執筆を完了し，査読付国際誌に投稿した．また，4次元多様体の不変量である Kirby-Thompson 不変量についての研究を行った．Kirby-Thompson 不変量は，4次元多様体を表示するためのトライセクション図式と呼ばれる曲面上の曲線族のある種の複雑さを用いて定義される．浅野喜敬氏，小川将輝氏とともに，Kirby-Thompson 不変量に関するいくつかの不等式を証明した．具体的に，Kirby-Thompson 不変量は整数値の不変量であるため，その値が固定した整数以下であるという状況下でハンドル分解の条件を導き，そこから Kirby-Thompson 不変量の下界を与えた．また，Kirby-Thompson 不変量の値と曲線族の交叉行列の変形の間に関係を見出し，1次ホモロジー群が有限な場合にその位数によって Kirby-Thompson 不変量の下界を与えることができた．これにより，Kirby-Thompson 不変量は上に非有界であることが示せた．さらに，非零の Kirby-Thompson 不変量をもつ4次元多様体とその値について，初めて具体的な例を与えることができた．これらの内容をまとめた論文を執筆し，査読付国際誌に投稿した．上記の研究については，研究集会等で報告を行った．さらに，2次元結び目のシャドウ複雑度，(橋) トライセクション，その種数などの間の関係についても考察を行った．