保型形式の周期の非消滅定理と漸近公式の研究

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保型形式とはリー群の離散部分群による商空間上に定義されるラプラス作用素の固有関数のことである。保型形式は整数論の研究において非常に重要な対象であり、特に保型形式から定まるL関数（保型L関数）は様々な場面で大きな役割を果たす。例えば楕円曲線のゴールドフェルド予想の研究（楕円曲線の階数の２次捻りの平均値の予想）ではモジュラリティ定理（志村谷山予想）を通じて保型L関数の中心値を用いたアプローチが可能となっている。さらに保型L関数の中心値と保型周期（保型形式の周期、リー群の部分群上の保型形式の積分）は密接に関連しており、非消滅性に関してはほぼ同値であることが知られている。つまり保型周期は保型L関数の中心値について決定的な役割を果たすため、近年でも非常に活発に研究されており、様々な研究の進展が得られている。本研究の主要な目的は保型周期に対して非消滅定理および漸近公式を導くことである。本研究の目的は大きく二つの(I)と(II)があり、目的(I)はGL(2)の保型表現を一つ固定して、数体Fの2次拡大Eを動かしてトーラスEに関する保型周期の非消滅定理および平均値定理を導くことである。目的(II)はFの2次拡大Eを固定して、ラプラシアンの固有値やレベルに関するGL(2n)の保型表現の族(保型表現の適 切な集まり)を考えることで、GL(n,E)に関する保型周期の漸近公式を導くことである。今回の主要な研究実績は目的(I)に関するものでGL(2)の保型形式の周期の二乗の平均値定理を証明したことである。概均質ゼータ関数を使った方法は目論見通り平均値定理を導くことを可能とし、特に概均質ゼータ関数の留数公式は任意の局所表現に対して成立するため、分岐条件を含んだ一般的な設定において想像以上に簡明な公式を導くことに成功した。