Representation theoretic research on periods of automorphic forms

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1990 年代の初め，Gross とPrasad は特殊直交群の組の上の保型形式の周期に関する一連の予想を提出した．これを精密化して，市野篤史氏（京都大学）と筆者は特殊直交群上の保型形式の周期をある種のＬ函数の値と具体的に関係付ける明示的な周期公式を予想として提出した．これは現在では市野・池田予想として広く知られており，保型形式の周期の理論の一つの大きな目標となっている．このように保型形式の周期が市野・池田型の公式によりL関数の特殊値と結び付けられるには問題の周期が局所的に重複度1の条件を満たすことが必要であると考えられる。局所的にそのような重複度1の条件が成り立つとき、市野・池田型の公式には局所的な因子が現れ、それは局所体上の代数群の表現を実現する特殊関数とも考えられる。本研究ではこのような視点から大域的な周期の研究、局所体上の特殊関数の研究を行っており、とくに退化主系列表現に付随したSiegel級数の挙動を研究している。エルミート形式のSiegel級数はGross-Keating不変量，変形Gross-Keating不変量，および補助的なHasse不変量で決定されると考えられる。エルミート形式にGK三つ組の構成に関しては論文を執筆し、近々投稿する予定である。また、二次形式の拡張GKデータについても、有限体上の交互増大フィルター付きの二次空間対を経由することによりより簡明な構成をすることができたので、これに関する論文を現在執筆中である。このように局所体上の対象であるSiegel級数が有限体上の対象の不変量に還元されることは新しい知見であり興味深い発見であると思う。今年度はコロナ禍により研究集会等に対面で参加することはほとんどできなかったが、主に研究用の書籍を購入することにより研究環境の改善を図った。