自己駆動体の集団運動に対する数理モデリングと数理解析

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水面の表面張力を変化させることで運動する自己駆動体が複数個あるときに観察される集団運動を理論的に解明することによって，集団運動の形成される要因が示され，生生物が見せる集団運動原理の解明に繋がることが期待できる．この研究では，数理モデリングと実験検証の相補的研究によって，自己駆動体に現れる集団運動の発現機構およびその形成機構について数理科学的点からメカニズム解明を目指している．2022年度は，2021年度に構築した自己駆動体運動を記述する空間1次元保存型反応拡散型モデルを空間2次元に拡張して，変形を伴う液滴運動や変形しない固体樟脳運動を1つのパラメータで表現することが可能な数理モデルの構築に成功した．変形するパラメータに固定する．このとき水面の抵抗に対応するパラメータをフリーパラメータにすると，初期関数の体積に依存して2つの分岐現象が現れることがわかった．体積が大きい場合は，円盤定常解から安定なダンベル型定常解が分岐し，このダンベル型定常解からバナナ型進行波解が分岐することがわかった．体積が小さい場合は，円盤形定常解から円盤に近い進行波解が分岐し，徐々に速度が速くなるとおにぎり型進行波解に近づくことがわかった．変形しないパラメータでは，体積の大きさに依存することなく，円盤定常解から円盤に近い進行波が分岐し，速度が速くなってもほとんど変形が見られなかった．これまでの反応拡散系では安定なダンベル型定常解は報告されておらず，この研究において新しい安定定常解を発見するに至った．さらに，この反応拡散型数理モデルに対する物理的正当性を与える研究を進めた．自己駆動体の界面エネルギー，水面の表面張力エネルギー等から変分を取ることによって，自己駆動体の運動方程式を導出した．この数理モデルが反応拡散型数理モデルの特異極限モデルと一致することを示すことに成功した．