計算機支援による水面での剛体運動に対する数理解析

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界面活性粒子を水面に浮かべたとき,界面活性粒子が水面上でどのような運動をするのかを数理解析的に研究した.最初に樟脳円盤が水面を動く数理モデルを構築した.この数理モデルは樟脳円盤の運動を記述する運動方程式と樟脳膜の濃度を記述する反応拡散方程式から成り,二つの方程式は表面張力を通して結合している.数値実験の結果からこのモデル方程式が実験結果の定性的性質をよく再現していることがわかった.さらに計算機支援解析によってモデル方程式に対して定常解から進行パルス波への分岐現象を解析し,定常解と進行パルス波の線形化安定性を調べた.その結果,樟脳円盤の半径によって2種類の分岐構造があることがわかった.実験において円盤の大きさによる分岐構造の違いを確認することはできなかったが,円盤の大きさと速度の関係は数学解析の結果と定性的に一致していることがわかった.そして,樟脳円盤の往復運動現象に対しても,境界条件を適切に与えることで数理モデルにおいて往復運動現象が確認された.この研究成果はPhysica Dに掲載予定となっている.樟脳運動の数理モデルを基本として,化学反応を伴う界面活性粒子の運動(例えば,リン酸緩衝液上での樟脳酸円盤の間欠運動)を記述する数理モデルを構築した.この数値計算結果から間欠運動は化学反応次数に強く依存していることがわかった.この結果として,硝酸第一鉄溶液上でのフェナントロリン円盤の間欠運動とリン酸緩衝液上での樟脳酸円盤の間欠運動は異なる運動メカニズムによることが示唆された.