グラフのスペクトル幾何と古典および量子酔歩の挙動の相関の解明

点击翻译按钮获取中文摘要

グラフ上の各種作用素のスペクトルとグラフの持つ離散幾何構造の関係性の解明を主題としたものが当該研究課題であり，今年度の実績としては1)古典酔歩に付随した作用素のtwisted versionのスペクトルの対称性と有限グラフのサイクル構造，および2)量子ウォークの定常状態と散乱対象となる有限グラフが持つ特殊な全域部分グラフの分布，の解明を挙げておく．1)については，既存の「磁場つきラプラシアン」として定義されているものと本質的に同じである「エルミート隣接行列」というグラフによって定まる古典的酔歩に付随した作用素に対して(「隣接行列」の要素を複素化した対称行列)，久保田氏および瀬川氏(横国大)とともに，エルミート隣接行列を構成する複素数パラメータが円分数であるときは，2部グラフではないがスペクトルが対称になるグラフを構成し，あわせてそのグラフの族の最適性をも示した．一方で，複素数パラメータが代数的数であるときは，2部グラフでなければスペクトルは対称にならないことも示した．それに対して量子酔歩に付随したモデルを扱った2)は，時刻毎に固定した大きさ1の複素数倍した波を入射するという量子散乱モデルを考察対象とした瀬川氏(横国大)との共同研究である．今回の一般の複素数に対する解析では，固定した複素数が1もしくは-1のときの以前の我々の結果を包含しつつ，解析的には特異な条件となる各所を美しく排除することに成功し，それにより量子散乱モデルの入射の個数および周波数と，定常状態における内部エネルギーの関連性を示すことが出来た．以上はいわば基礎面の実績であるが，加えて実験物理の研究者である水谷氏(横国大)松岡氏(広工大)らと量子グラフの定常状態の光回路への実装を目標とした“光量子ウォーク”の設計と定常状態の性質の解析にも成功し，これは量子ウォークの応用への第一歩の実績となったことも強調しておく．