Study on the arithmetic of algebraic curves and its applications using computers

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Somos数列の数論的性質に関する共同研究を行った。（一般の）Somos数列は、双線形漸化式で定義される数列で、楕円曲線と関係するelliptic divisibility sequence (EDS)を特別な場合として含んでいる。初期値や係数が適切な条件を満たすとき、Somos数列はすべての項が整数となることが知られている。本研究では、種数2の超楕円曲線に対して定まる、Cantorの等分多項式の値がなすSomos数列について研究した。特に、このSomos数列の素数を法とした周期性について、有限個の素数を除いて周期が存在し、その周期が超楕円曲線のJacobi多様体の点の位数を用いて評価できることを証明した。これはすでに知られているEDSの場合と同様の結果である。また、昨年度までに引き続き、矩形求積公式(quadrature formula)に関連する不定方程式について共同研究を行った。与えられた重み関数に関する多項式の積分値を、有限個のノードにおける多項式の値の相加平均として表す矩形求積公式は、代数的組合せ論でデザインと呼ばれるものに相当する。ノードが実数である場合はすでに多くの結果が知られている。本研究では、デザインが具体的に構成できるかどうか、およびノードを有理数または代数的数にできるかどうかを研究した。その結果として、ある条件の下で、ノードが代数的数であるデザインを具体的に構成した。引き続き関連する問題について研究を進めている。