高さ関数を用いた代数多様体の有理点に関する研究

今年度は、超楕円曲線上のTate-Lichtenbaumペアリングをhyperelliptic netと呼ばれる写像を用いて計算するアルゴリズムについて研究を行った。代数曲線暗号において、Tate-Lichtenbaumペアリングのようなペアリングを用いた様々な暗号プロトコルが開発されている。そのため、ペアリングの高速な計算法の開発は重要な課題である。通常、ペアリングの計算にはMillerのアルゴリズムが用いられるが、近年、Stangeはelliptic netと呼ばれる写像を用いて楕円曲線上のTateペアリングを計算するアルゴリズムを提案した。本研究では、Stangeの結果を超楕円曲線に拡張した。Stangeは、elliptic netをある漸化式を満たす写像として定義したが、これを超楕円曲線に直接拡張することは困難である。そこで本研究ではこまず複素数体上で、超楕円シグマ関数によってhyperelliptic netと呼ぶべき写像を定義し、それが満たす漸化式を導出した。さらに、hyperelliptic netが正標数の体上でも定義できることを、p進付値を考えることで示した。このhyperelliptic netを用いてTate-Lichtenbaumペアリングを表す公式が楕円曲線の場合と同様に得られる。Hyperelliptic netの漸化式を用いることで、超楕円曲線の種数が2である場合に、Tate-Lichtenbaumペアリングを計算するアルゴリズムを構成した。このアルゴリズムはMillerのアルゴリズムと同じ計算量のオーダーを持つ。

今年度は、超楕円曲線上のTate-Lichtenbaumペアリングをhyperelliptic netと呼ばれる写像を用いて計算するアルゴリズムについて研究を行った。代数曲線暗号において、Tate-Lichtenbaumペアリングのようなペアリングを用いた様々な暗号プロトコルが開発されている。そのため、ペアリングの高速な計算法の開発は重要な課題である。通常、ペアリングの計算にはMillerのアルゴリズムが用いられるが、近年、Stangeはelliptic netと呼ばれる写像を用いて楕円曲線上のTateペアリングを計算するアルゴリズムを提案した。本研究では、Stangeの結果を超楕円曲線に拡張した。Stangeは、elliptic netをある漸化式を満たす写像として定義したが、これを超楕円曲線に直接拡張することは困難である。そこで本研究ではこまず複素数体上で、超楕円シグマ関数によってhyperelliptic netと呼ぶべき写像を定義し、それが満たす漸化式を導出した。さらに、hyperelliptic netが正標数の体上でも定義できることを、p進付値を考えることで示した。このhyperelliptic netを用いてTate-Lichtenbaumペアリングを表す公式が楕円曲線の場合と同様に得られる。Hyperelliptic netの漸化式を用いることで、超楕円曲線の種数が2である場合に、Tate-Lichtenbaumペアリングを計算するアルゴリズムを構成した。このアルゴリズムはMillerのアルゴリズムと同じ計算量のオーダーを持つ。