代数曲線の有理点・整数点を求めるアルゴリズムに関する研究

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本研究の目的は代数曲線の有理点・整数点を求めるアルゴリズムの研究である。本年度は前年度に引き続いて一般種数の超楕円曲線から定まるヤコビ多様体について研究を行った。本年度は、ヤコビ多様体の位数有限の点を検出する多項式である等分多項式について考察し、特に、等分多項式を超楕円ペー関数で表したときの係数がどのような環に含まれるか、という問題について考察を行った。楕円曲線の場合は、楕円曲線の定義方程式の係数が有理整数環上生成する環に含まれることが知られている。この事実の証明には、等分多項式の満たす漸化式が用いられる。また、等分多項式の行列式表示が用いても同様な結果が得られる。そこで、これらの拡張を試みた。等分多項式の行列式表示については、すでに岩手大学の大西良博氏が得ているフロベニウス・スティッケルベルガー型の公式を用いることで、等分多項式を行列式の商で表すことができた。これと一般のネーター環に対するグレブナー基底の理論を用いることで、等分多項式の係数は、もとの超楕円曲線の係数が有理数体上生成する環をある元で局所化した環に含まれることが証明できる。この環は等分多項式のもととなるn倍写像のnによらない。等分多項式の満たす漸化式については、楕円曲線の場合に成り立つ漸化式を、一般の種数に対して拡張することができた。この漸化式を用いても等分多項式の係数に関する情報が得られると考えられる。また、等分多項式の値の計算にも役立つと考えられる。