多元環の表現と団傾部分圏の研究

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今年度は主にτ傾加群の研究を行った。τ傾加群とは近年導入された古典的重要概念である傾加群の一般化である。研究成果のひとつは自己入射多元環上のτ傾加群に関するものである。自己入射多元環の導来圏同値を与える事は基本的問題であるが、それには傾複体を与える事が必要となる。しかし一般に傾複体を構成する方法はあまり知られていない。そこでτ傾加群を用いて傾複体を与える方法を考察した。より具体的には特別なτ傾加群と2項傾複体との間に一対一対応がある事を示した。これによって傾複体より単純なτ加群を用いて構成する方法を与えた。また箙から定まる三つの基本的な概念であるコクセター群、道多元環および前射影多元環の関係を調べた。これらはどれも古くから調べられ、他の多くの分野とも関係性をもつ極めて重要な対象である。研究成果として、Dynkin型箙の場合にコクセター群の元と前射影多元環上の台τ傾加群の間に一対一対応がある事を示した。これによりコクセター群の圏論的実現を与え、前射影多元環上の台τ傾加群の完全な分類に成功した。またこの結果の系として捻れ類の分類やchamber構造の実現などの応用を与えた。さらに前射影多元環上の台τ傾加群の道多元環への制限が剰余閉部分圏を与える事が知られており、コクセター群の元、道多元環上の剰余閉部分圏、前射影多元環上の台τ傾加群間の関係性を明快に理解するに至った。これによって当初の研究目的の一つであった多元環の表現論とルート系との結びつきがより明らかになった。