On embedded resolution of singularities for three dimensional algebraic varieties

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本研究の主題は正標数における特異点解消，特に3次元多様体の埋め込み特異点解消である．正標数における特異点解消の問題は，非埋め込みの場合は3次元まで，埋め込みの場合は2次元までしか解決しておらず，全ての次元で解決している標数零の場合とは大きく状況が異なる．特に3次元埋め込みの場合は未だ特筆すべき結果は得られておらず，この分野で最優先の課題と目されている．本研究者はIFPというプログラムを提唱し，これを推進する形で上記の問題に取り組んでいる．令和 3--4 年度は2次元の場合の手法を拡張して3次元の場合の研究を推進すること, 特に正標数3次元単項型の場合に機能する単項型不変量を見い出すことが当初からの目標であった．コロナ禍の影響で本研究計画の前半がひどく遅れており予定通りとはいかなかったが，概ね上記の方針に沿って研究を行った．3次元の場合に2次元の場合と同様の観点から解析を進めようとすると，爆発の中心に任意性が現れる点や配置のバリエーションが大量になる点などが3次元の場合の困難として挙げられる．正標数の爆発に特有の現象であるMoh-Hauserの跳躍現象をどう制御するかも重要な問題である．我々は2次元の場合は跳躍現象によらず減少する指標を導入する方式と跳躍現象の漸近的な挙動を解析する方式の2通りの解決法を提示した．しかし，3次元においてはいずれの方法でもこの部分を克服できていない．共同研究者の松木氏と議論を重ねて以前よりは進展した知見を得たが, 結果が限定的であり状況設定もかなり複雑なので，研究を公表できる形に持っていくには更に時間が必要である．以上のように，令和4年度は一定の進展はあったものの残念ながら部分的であった．なお，リスボンで開催された研究会，ウィーン大学などで関連する問題についての講演を行った．