特異点解消の環論的研究

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本研究は、代数幾何学と可換環論の双方における中心課題の一つである特異点解消の代数的理論の開発を最終目標とする。今年度は、基礎研究に主眼を置きとくに、環論的手法に傷づくblow‐up ringsの代数構造の研究を行うことを目的とした。この点では以下に述べるように満足すべき成果を得ることができたが、最終目標たる特異解消への途は、依然今後の課題として残った。しかしながら、解析学・位相幾何学あるいは力学系に於ける特異点理論の理解を目標とした共同基礎研究の収穫は大きく、今後の結実が期待される。1)blow‐up ringsの理論を整備し、一般のfiltrationとこれに随伴するRees代数の統一理論を完成した。Rees環のCohen‐Macaulay性とGorenstein性に関する大域理論が完成し、正規Rees代数、symbolic Rees代数等における個別的な知見を統一的に記述できるようになったことが今後の研究に与える影響は、非常に大きいと考える。2)1)で得られた理論の応用として、解析的deviationが小なるイデアルを中心としたblow‐up ringsの環論的構造の研究を行い、そのCohen‐Macaulay性とGorenstein性を記述する判定法を完成した。3)2)の成果の応用として、symbolic blow‐up ringsがordinaryなものと一致する例の大量構成に成功した。この結果により、symbolic blow‐up ringsの研究へ一層の拍車がかかることになると予想される。4)特異点論固有の問題として、有限Buchsbaum表現を持つ曲線上の特異点の構造決定と完全な分類に成功した。高次元の特異点については、すでに同様の理論が完成しているので、これにより有限Buchsbaum表現を持つ代数多様体上の特異点の構造論が、満足すべき完成を見せたことになる。