Geometric study of quantum toroidal algebras

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今年度に行った研究は以下の通りである. (1) 非被約な楕円ルート系に関する研究，(2) 変形トロイダルリー代数の表現論の研究(1)について:昨年度から引き続き行った研究テーマである．昨年度までの研究で，非被約な楕円ルート系の分類は得られていたが，本年度は『楕円図形』と呼ばれる色付き有限有向グラフを導入し，分類結果を視覚化するとともに，各ルート系の構造をより明確に記述することに成功した．楕円図形は，被約な楕円ルート系の場合に齋藤恭司によって以前から得られていた概念であるが，本研究ではこれを非被約な場合に拡張したもの，と見做すことが出来る．さらに，楕円図形から出発して，非被約な楕円ルート系全体を完全に復元出来ることを示した．なお，本テーマに関しては，2023年2月から3月にかけて行われた国際研究集会『Gauge Theory, Moduli Spaces and Representation Theory,Kashiwa 2023』において，招待講演を行った．(2) こちらは本年度から新たに始めたテーマである．A型の量子トロイダル代数は２つの変形パラメータを持つことが知られている．このうち，一方のパラメータを１に近づけた極限を考えることで，あるリー代数が得られる（これを変形トロイダルリー代数と呼ばれる）．本年度はこの変形トロイダルリー代数のCartan部分代数を保つ自己同型群について調べ，変形トロイダルリー代数に対し，楕円モジュラー群が作用することを示した．また，変形トロイダルリー代数に対し，頂点作用素を用いた表現の具体的構成を行った．