Homotopy theory for Hopfological algebra

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本研究の目的は, 通常のチェイン複体を用いたホモロジー代数を, 有限次元 Hopf 代数 H 上の加群を用いたものに拡張することである。単純ではない Hopf 代数上の加群の圏がチェイン複体の圏と類似していることは, Khovanov による発見であるが, 本研究では, 特に (左) H-加群代数やその多対象化である H-加群圏上の加群の圏の構造を調べることを目的としている。H-加群圏は, 通常のホモロジー代数での dg category に対応するものであり, dg category の場合, その上の加群の圏を用いて, Hochschild ホモロジー, 巡回ホモロジー, そして代数的K理論などの不変量が定義される。それらの H-加群圏への拡張は, 2020年度, 2021年度の研究により, cotorsion pair と それから構成される Waldhausen category を用いて得られており, 2022年度は, それらの不変量の基本的性質の研究を行なった。dg category の代数的K理論の基本的性質は, Thomason と Trobaugh による1990年の論文で, チェイン複体の圏の作用を持つ biWaldhausen category の性質として得られているが, そこでは cylinder functor の存在が仮定されており, その手法は本研究に用いることができない。そこで Thomason と Trobaugh の用いたチェイン複体の圏の作用を H-加群の圏の作用に一般化し, 更に cylinder functor を用いない Schlichting の手法と組合せることにより, H-加群圏の代数的K理論の導来同値不変性を証明した。