Nilpotent study of 3-dimensional topology

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3次元トポロジーのべき零的な研究を進めている。但し２年度目で一定の成果を得たため、３年度では計画書と少々ずれるが派生的な研究を行い、３つの結果を得た。プレプリントとして以下の様にまとめた。(1) 閉３次元多様体のChern-Simons不変量に関してである。その不変量は一つのSL(2;C)表現が与えられた毎に定義出来るが、多くの既存の研究は一つであるホロノミー表現のみに注目される研究が多く、双曲幾何との関連性が論じられた。対して、筆者はすべてのSL(2;C)表現を考え、その不変量の和に関して予想を立てた。本論文で一定の多様体のクラスに対し予想が正しい事を証明する事が出来た。また境界つきの多様体の場合でも類似した議論を展開し、２橋結び目に対し結果を得た。(2) Dehn手術を通して、閉3次元多様体の不変量を古典的な設定から構成した。正確には対称カンドルの視点による対称コサイクル不変量という絡み目不変量が、よい条件のもとで、閉3次元多様体の不変量を与える事を示した。例えば任意の有限群に対して具体的に不変量が構成でき、簡単な群では不変量が計算できる事を例示した。(3) Dijkgraaf-Witten不変量とは、有限群の群３コサイクルから構成される位相不変量である。そこで本論文ではその３コサイクルが複素表現の２次Chern類から自然に由来する場合を考えた。その際にRiemann-Rochの定理を用いる事で、当不変量の12倍はある有限被覆空間のカップ積構造らでほぼほぼ計算できることを示した。またその12倍が現れる本質的な原因を解明した。そして幾つかの具体的な有限群に対して、トランファーの理論を用いる事で計算方針を示すことができた。