Study of the geometric structure of geodesically complete metric spaces with curvature bounded above

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当該研究の研究主題は，微分幾何学と位相幾何学の両者の手法を用いながら，曲率が上に有界な測地的完備距離空間の幾何構造を解き明かし，曲率が上に有界なホモロジー多様体などに対して大域リーマン幾何学を展開することである．令和4年度は，令和3年度に引き続き，一つ目の研究課題として，曲率が上に有界な距離空間の壁型特異性の研究を推進した．局所コンパクトで曲率が上に有界な測地的完備距離空間の点がn次元壁点であるとは，その点における接空間が(n-1)次元ユークリッド空間と3個以上の点からなる離散距離空間上のユークリッド錐との直積空間に等長的であるときにいう．具体的な研究成果として，一般的なn次元壁点の近傍の位相構造と計量構造を詳細に記述する壁型特異性定理を示した．さらに，壁点を許容しないことと，位相的特異点集合や計量的特異点集合の余次元が2以上であることが同値であることを主張する壁型正則性定理を示した．これらの研究成果により，曲率が上に有界な測地的完備距離空間の幾何構造を特異点集合の構造を含めて深く理解できることが期待される．なお，これらの研究成果について単著研究論文を執筆中である．二つ目の研究課題として，塩谷隆氏(東北大学)と山口孝男氏(京都大学/筑波大学)と共同で，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間の幾何構造の研究を推進した．具体的な研究成果として，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間に対して，曲率の上界とホモトピー型を保つ形で多面体近似定理を定式化すること，および適切な曲率測度に関するガウス・ボンネの定理を確立することに成功した．これらの研究成果により，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間の幾何構造の理解が補完されるだけでなく，一般次元の場合の新たな研究の方向性が切り開かれることが期待される．なお，これらの研究成果について共著研究論文を執筆中である．