Structural stability problem of real algebraic maps and its application

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本研究における第一目標は、実代数的写像（ここでは、ナッシュ多様体間のナッシュ写像を意味する）に対する構造安定性問題を解決することにある。より具体的には、実代数的写像の構造安定性に対する結構次元（安定な写像全体の集合が写像空間内で閉かつ稠密になる多様体の次元の対）を決定することである。この研究においては、定義域のナッシュ多様体がコンパクトな場合に、実代数的写像の結構次元が実解析構造安定性の結構次元に一致することを示すことを問題にしている。この問題に関して、昨年度、実解析構造安定性の結構次元が実代数的構造安定性の結構次元になっていることを示していた。当該年度の研究成果は、その逆を示すことにより、それらの二つの結構次元が一致することを示したことである。従って、第一目標の問題を解決したことである。次数が制限された多項式関数全体に現れる位数型の個数が有限であることは、特異点論の分野においては、福田の有限性定理として広く知られている。この結果は関数の場合の位相構造安定性問題と深く関係している。福田の有限性定理に関連して、外国人研究協力者の L. Paunescu 氏との共同研究により、多項式関数族に対する種々の位相有限性定理や半代数的有限性定理、また、それらを一般化して、必ずしもコンパクトとは限らないナッシュ多様体上定義されたナッシュ関数族に対する半代数的有限性定理を示し、それらの結果を論文にまとめていた。当該年度に、その論文を欧州の雑誌より出版した。