Spectral analysis of quantum fields using Bogoliubov transformation

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対相互作用模型は場の2次の相互作用を持つ量子場の基本的な模型の一つであり，歴史的には解ける模型の例として原子核内部における核子と核子の相互作用の解析のために考察されたものである。対相互作用模型を抽象化した模型は，電子と光子との相互作用を記述するPauli-Fierz模型で双極近似を行った模型を例として含むため，さまざまな応用を持つ模型となっている。本研究はBogoliubov変換による対相互作用模型の対角化についての研究である。具体的には，対相互作用模型の基底状態の解析性や散乱理論，より強い特異性を持つ対相互作用模型の対角化の研究を行うこととなった。昨年度までに行っていた研究によって，適切な条件下において対相互作用模型の基底状態エネルギー，基底状態，種々の基底状態における期待値が結合定数について解析性を持つことを示していたが，実は少し不満の残る点があった。この模型は結合定数について有限の収束半径を持つのだが，基底状態エネルギーの解析性は予想される収束半径を得たのに対し，基底状態の解析性についてはそれより3割ほど小さくなるような評価しか得られていなかった。2022年度はまず，この部分を改良するための研究を行った。Bogoliubov変換の対角化に必要な作用素の逆作用素の解析性の証明の部分で収束半径を失っていることが判明したのだが，その部分は級数展開ではなくをSectorial作用素の理論を使うことで改良できることに気づいた。ただし，現在行った改良では，解析性のための位相が弱位相であるため，これをノルム位相やHilbert-Schmidt作用素の位相まで拡張する必要がある。これについてはさらなる研究が必要だろう。他には，双極近似のPauli-Fierz模型の解析性，強い特異性を持つ対相互作用模型のHilbert-Schmidt条件の証明について研究を行った。