The study on nonlinear elliptic partial differential equations via variational and perturbation methods

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2021年度に引き続き、2022年度も全空間上で定義された3つの楕円型方程式から成る連立楕円型方程式の相互作用項に引力的な項と斥力的な項が混じっているときのエネルギー最小解の研究を行った。方程式が有界領域上で定義されている場合は、従来の研究によりエネルギー最小解の存在が知られていた。他方、方程式が全空間上で定義されている場合、相互作用項に斥力的な項があると、エネルギー最小解の存在は期待できないことも知られていた。2021年度のユタ州立大学（福州師範大学）のZhi-Qiang Wang教授との共同研究により、空間次元が2次元または3次元のときは、関数空間を偶関数に制限するとエネルギー最小偶関数解が存在することを発見した。2022年度はこの研究を論文として纏めた。その過程において同様の問題を考察していた西北工業大学Jiankang Xiaも研究に加わり共同で論文を執筆した。この論文は現在投稿中である。さらに2021年度の研究において、この手法が全空間上で定義された2つの楕円型方程式から成る連立方程式の相互作用項が斥力的な場合にも適用できることもわかった。すなわち、方程式が全空間上で定義されていて相互作用項が斥力的な場合、エネルギー最小解の存在は期待できないが、空間次元が2次元または3次元のときは、関数空間を偶関数に制限するとエネルギー最小偶関数解が存在し得ることを証明した。ただし、2021年の実績概要で記載したエネルギー偶関数解の非球対称性については、その証明に誤りがあった。現在のところ、エネルギー最小偶関数解の非球対称性は分かっていない。2022年度の研究では、空間次元が1次元の場合も、相互作用項の係数関数に条件を加えるとエネルギー最小偶関数解が存在し得ることも証明し、これらの結果を論文に纏めた。この論文は学術誌「Nonlinear Analysis」への掲載が決まっている。