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The study on nonlinear elliptic partial differential equations via variational and perturbation methods

非线性椭圆偏微分方程的变分法和摄动法研究

基本信息

批准号：
20K03691
负责人：
佐藤洋平
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Saitama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

2021年度に引き続き、2022年度も全空間上で定義された3つの楕円型方程式から成る連立楕円型方程式の相互作用項に引力的な項と斥力的な項が混じっているときのエネルギー最小解の研究を行った。方程式が有界領域上で定義されている場合は、従来の研究によりエネルギー最小解の存在が知られていた。他方、方程式が全空間上で定義されている場合、相互作用項に斥力的な項があると、エネルギー最小解の存在は期待できないことも知られていた。2021年度のユタ州立大学（福州師範大学）のZhi-Qiang Wang教授との共同研究により、空間次元が2次元または3次元のときは、関数空間を偶関数に制限するとエネルギー最小偶関数解が存在することを発見した。2022年度はこの研究を論文として纏めた。その過程において同様の問題を考察していた西北工業大学Jiankang Xiaも研究に加わり共同で論文を執筆した。この論文は現在投稿中である。さらに2021年度の研究において、この手法が全空間上で定義された2つの楕円型方程式から成る連立方程式の相互作用項が斥力的な場合にも適用できることもわかった。すなわち、方程式が全空間上で定義されていて相互作用項が斥力的な場合、エネルギー最小解の存在は期待できないが、空間次元が2次元または3次元のときは、関数空間を偶関数に制限するとエネルギー最小偶関数解が存在し得ることを証明した。ただし、2021年の実績概要で記載したエネルギー偶関数解の非球対称性については、その証明に誤りがあった。現在のところ、エネルギー最小偶関数解の非球対称性は分かっていない。2022年度の研究では、空間次元が1次元の場合も、相互作用項の係数関数に条件を加えるとエネルギー最小偶関数解が存在し得ることも証明し、これらの結果を論文に纏めた。この論文は学術誌「Nonlinear Analysis」への掲載が決まっている。

In 2021 and 2022, the study of the minimum solution of the three-dimensional equation was carried out. Equations are well defined in bounded domains, but the existence of a minimum solution to a complex equation has been known in recent research. Other equations are defined in the whole space, the interaction term is the repulsion term, and the existence of the minimum solution is expected. In 2021, Professor Zhi-Qiang Wang of Fuzhou State University (Fuzhou Normal University) made a joint research on the existence of the minimum even number solution in the space dimension and the space dimension. 2022 Annual Research Paper. A study on the process and the problems of the same process was carried out by Jiankang Xia of Northwestern Polytechnical University. The paper is now submitted in. In the 2021 study, the method is applied to the case where the interaction term of the continuous equation is repulsive. The equation is defined on the whole space, the interaction term is repulsive, the existence of the minimum solution is expected, the space dimension is 2-dimensional, the 3-dimensional is opposite, the correlation space is even correlation number, the restriction is limited, the existence of the minimum even correlation solution is proved. The summary of results for 2021 shows that there are no spherical symmetry problems in the numerical solution. The solution of non-spherical symmetry of the minimum even correlation number is obtained. In 2022, the study of spatial dimension and 1 dimensional case, the coefficient correlation of interaction term, the condition of addition, the existence of minimum even correlation number solution, the proof, the result, the paper This paper is published in the journal Nonlinear Analysis.