多孔質媒体内の階層的変化を記述する偏微分方程式と自由境界問題の連立系の研究

本研究では、多孔質媒体全体における変化を偏微分方程式、内部の微視的な変化を自由境界問題によって表し、それらの連立系の適切性を考察することにより、両変化を同時に扱うことのできる数学的枠組みを構築することが目的である。本年度得られた結果は以下である。1. 多孔質媒体全体では、相対湿度の変化を表す拡散方程式を考える。また、多孔質媒体の1点に対して、1つの細孔に見立てた１次元区間を対応させ、その区間内では水分量の変化を表す自由境界問題を考える。このように設定することにより、物質全体の変化とその内部の微視的変化を同時に扱うことができる。自由境界問題は物質全体の1点に対応して存在しているが、昨年度は、この自由境界問題の解が多孔質媒体全体で可測であるということを示した。この結果を用い、拡散方程式と自由境界問題の連立系に対して時間局所解の存在と一意性を示すことに成功した。2. 1.において扱った拡散方程式と自由境界問題の連立系に対して、各1次元区間における自由境界が、どの時刻においても固定境界に到達することがないことを示した上で、時間局所解の延長による方法を用いて時間大域解の存在を示した。また、方程式より得られる質量保存則を用いて、自由境界が有限となること、また方程式の構造を用いた比較原理により、自由境界問題の解が有界となることを示した。これらの結果を用いて、連立系の解に対して、時間大域的な一様評価を導出するための必要条件を導出することができた。

本研究では、多孔質媒体全体における変化を偏微分方程式、内部の微視的な変化を自由境界問題によって表し、それらの連立系の適切性を考察することにより、両変化を同時に扱うことのできる数学的枠組みを構築することが目的である。本年度得られた結果は以下である。1. 多孔質媒体全体では、相対湿度の変化を表す拡散方程式を考える。また、多孔質媒体の1点に対して、1つの細孔に見立てた１次元区間を対応させ、その区間内では水分量の変化を表す自由境界問題を考える。このように設定することにより、物質全体の変化とその内部の微視的変化を同時に扱うことができる。自由境界問題は物質全体の1点に対応して存在しているが、昨年度は、この自由境界問題の解が多孔質媒体全体で可測であるということを示した。この結果を用い、拡散方程式と自由境界問題の連立系に対して時間局所解の存在と一意性を示すことに成功した。2. 1.において扱った拡散方程式と自由境界問題の連立系に対して、各1次元区間における自由境界が、どの時刻においても固定境界に到達することがないことを示した上で、時間局所解の延長による方法を用いて時間大域解の存在を示した。また、方程式より得られる質量保存則を用いて、自由境界が有限となること、また方程式の構造を用いた比較原理により、自由境界問題の解が有界となることを示した。これらの結果を用いて、連立系の解に対して、時間大域的な一様評価を導出するための必要条件を導出することができた。