反応拡散系の特異極限と自由境界問題の数理構造の解明

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本研究では、非対称な反応項を持つ反応拡散方程式系の急速反応極限を考察した。急速反応極限とは、反応拡散方程式系に含まれる反応項の反応率を十分大きくすることであり、例えば、ロトカ・ボルテラ方程式では競争率を大きくすることで、二相Stefan問題が出現することがHilhorst氏や三村氏、飯田氏などにより報告されている。同様に、他の反応拡散方程式においても、界面方程式や自由境界問題が出現することが確認されている。一方で、この手法はStefan問題や多孔質媒体流方程式など、自由境界問題の数値計算への応用として扱われていることが、中木氏、村川氏などにより報告されている。しかしながら、これらの研究結果の多くは、反応項にある対称性が解析をする上で重要な役割を担っているため、非対称な反応項をもつ反応拡散方程式系では解析が技術的に困難であることが予想されていた。本研究では、反応項が多項式で表される二成分の反応拡散方程式系を考え、その多項式の非対称性によって縮約方程式がどのように現れるかを解析した。この結果、多項式の指数の組み合わせによって、一相Stefan問題に収束する場合、ノイマン境界条件の熱方程式に収束する場合、ディリクレ境界条件の熱方程式に収束する場合、があることを確認した。この結果は、Journal of Differential Equations に投稿し、アクセプトされた。今後は、この研究結果をより一般的な反応項に対しても応用出来ないか検討して行く。