結び目のケーブル化不変量の研究

2変数多項式不変量のHOMFLYPT多項式が一致する結び目の無限族は金信泰造氏によって発見されている。しかし、同じく2変数多項式不変量のKauffman多項式が一致する結び目の無限族は未だ知られていない。本研究では、これら2変数多項式不変量の一方の変数で整理したときの係数多項式に注目する。河内明夫氏の結果やそれとは異なる手法での宮澤康行氏による結果で、HOMFLYPT多項式に関しては、任意の絡み目の任意の次数までの係数多項式が一致する絡み目の無限族が構成されている。本研究では、HOMFLYPT多項式とKauffman多項式の両方の場合に、そのような絡み目の無限族を構成することに成功した。さらに、HOMFLYPT多項式とKauffman多項式の0次の係数多項式（これをΓ多項式と呼ぶ）は同一であることが知られており、HOMFLYPT多項式とKauffman多項式の係数多項式とΓ多項式のケーブル化の関係も研究している。特に、自明な結び目と任意の次数までのHOMFLYPT多項式とKauffman多項式の係数多項式が一致する結び目に関しては、Γ多項式の(p,1)ケーブル化(p=2,3,4)も自明になることを確かめた。これらの事実から、与えられた任意の結び目の任意の次数までのHOMFLYPT多項式とKauffman多項式の係数多項式が一致する結び目に対しては、Γ多項式のケーブル化も一致することが予想される。

2変数多項式不変量のHOMFLYPT多項式が一致する結び目の無限族は金信泰造氏によって発見されている。しかし、同じく2変数多項式不変量のKauffman多項式が一致する結び目の無限族は未だ知られていない。本研究では、これら2変数多項式不変量の一方の変数で整理したときの係数多項式に注目する。河内明夫氏の結果やそれとは異なる手法での宮澤康行氏による結果で、HOMFLYPT多項式に関しては、任意の絡み目の任意の次数までの係数多項式が一致する絡み目の無限族が構成されている。本研究では、HOMFLYPT多項式とKauffman多項式の両方の場合に、そのような絡み目の無限族を構成することに成功した。さらに、HOMFLYPT多項式とKauffman多項式の0次の係数多項式（これをΓ多項式と呼ぶ）は同一であることが知られており、HOMFLYPT多項式とKauffman多項式の係数多項式とΓ多項式のケーブル化の関係も研究している。特に、自明な結び目と任意の次数までのHOMFLYPT多項式とKauffman多項式の係数多項式が一致する結び目に関しては、Γ多項式の(p,1)ケーブル化(p=2,3,4)も自明になることを確かめた。これらの事実から、与えられた任意の結び目の任意の次数までのHOMFLYPT多項式とKauffman多項式の係数多項式が一致する結び目に対しては、Γ多項式のケーブル化も一致することが予想される。