Study on quantum invariants via graphical calculus and its applications

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sl_3　以外において sp_4 や g_2 などの rank 2 のリー代数やより高次の sl_n に関するスケイン関係式を取り扱う研究を行った。その結果として以下の研究成果を得た。点付き境界を持つ曲面上のクラスプ付きスケイン代数と量子クラスター代数について、リー代数 sp_4, g_2 の量子群に付随する場合に関して成果を得た。 sp_4 については境界弧で局所化したクラスプ付きスケイン代数から量子クラスター代数への埋め込みの構成と elevation-preservng と呼ばれるクラスのスケイ ン元における positivity の証明を行い論文として執筆している。 g_2 の場合は部分的な対応が得られており、現在進行中である。 また、点付き境界を持つ曲面におけるクラスプ付きスケイン代数と被約版ステイト付きスケイン代数の間の同型写像(ステイト-クラスプ対応)の構成を sl_3, sp_4 の場合に行った。さらに、これらの場合について向き付け可能な3次元多様体におけるステイト-クラスプ対応も考えた。以上の研究は石橋典氏との共同研究である。この他に、石橋典氏、狩野隼輔氏との共同研究で壁付き曲面のスケイン代数という新たなスケイン代数を導入して、ラミネーションに付随する係数付きクラス ター代数との対応を構成した。単独の研究としては色付きジョーンズ多項式の tail の研究について sp_4 の場合に基本表現の n 倍の最高ウェイトを持つ色付 きジョーンズ多項式の計算を (2,p)-トーラス絡み目に関して行った。そして、その極限から得られる tail の明示式を与えた。写像類群の量子表現やトポロジカル量子計算に関する具体的な研究には触れることができなかったが、スケイン代数と量子クラスター代数の関係という違った方向へと研究が進展した。