流れ問題における圧力境界条件の数学解析と粒子法シミュレーションへの応用

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本年度は，圧力境界条件を含むNavier-Stokes(NS)方程式に対する射影法と，NS方程式のrotation formに対するLagrange-Galerkin(LG)法に関して研究を行った．ここで，射影法とは流体運動に対する数値解析手法の1つであり，工学などでよく用いられる粒子法の基礎となっているものである．また，LG法とは流れ問題に対する数値解法の1つで，高レイノルズ数問題に対して強靭性を持つことが知られている．1. 血管やパイプラインなどでは境界の一部で圧力が既知の場合がしばしばある．そこで，全圧を含む境界条件を課したNS方程式に対する射影法を考案した．そして，そのスキームが安定であり，その解が厳密解に収束することを示した．ここで，全圧とは通常の圧力に流体の単位体積あたりの運動エネルギーを加えたもので，工学ではよく知られた変数である．この結果については【学会発表】欄にあるように数値解析・応用解析セミナーや発展方程式若手セミナーで発表をしており，現在論文を投稿中である．2. 上記の全圧を含む境界条件を課したNS方程式では，非線形項が通常の移流項とは異なり渦度と流速の外積となる．この表示はrotation formと呼ばれ，エネルギー評価しやすい表示として知られている．このrotation formに対する(圧力安定化)LG法を新たに提案し，通常の移流項の場合と同様の誤差評価を得られることを示した．通常のLG法は時間微分と非線形項の和が物質微分であることを利用するので，これまでrotation form に対する適用はされてこなかった．この結果については日本応用数理学会 研究部会連合発表会で発表をしており，現在論文を執筆中である．