Deligne-Lusztig多様体の局所体類似について

今年度は，前年度までに得られていた，K3曲面の有限性の結果の一般化を行った．特に，固定した代数体Fと有限素点の有限集合Sについて，Sの外で良還元を持つ多様体の有限性を主張する予想であるShafarevich 予想を，K3曲面の高次元一般化と知られる，既約シンプレクティック多様体に対して，二次のBetti数が5以上であるという仮定のもとで証明した．実際には，良還元を双有理同値と体の不分岐拡大とを許したクラスまでに一般化した，本質的良還元と呼ばれる概念を定義し，S外で本質的良還元を持つ多様体の有限性を証明した．証明の手法は，K3曲面の場合と同様，Deligne-Lusztig多様体と関係の深い志村多様体を用いたものであり，新たなインプットとして，これまで得られていた既約シンプレクティック多様体に対するtwistの有限性の結果を用いた．また，応用として，既約シンプレクティック多様体の二次のl進コホモロジーの不分岐性と本質的良還元との関係に一定の考察を与えた．この結果は L. Fu, Z. Li, H.Zou 氏らとの共同研究として，すでに論文にまとめ，arXivに公開している．一方で，数論幾何学において重要である，正標数の代数幾何学について，さらなる研究を行った．これまで極小モデル理論において重要な役割を担ってきたF-分裂の一般化である，準F-分裂という概念がある．私は，河上龍郎氏，吉川翔氏と共同で，この準F-分裂という概念の判定法の研究を行った．この結果はすでに論文にまとめ，近日中にarXivに公開する予定である．

今年度は，前年度までに得られていた，K3曲面の有限性の結果の一般化を行った．特に，固定した代数体Fと有限素点の有限集合Sについて，Sの外で良還元を持つ多様体の有限性を主張する予想であるShafarevich 予想を，K3曲面の高次元一般化と知られる，既約シンプレクティック多様体に対して，二次のBetti数が5以上であるという仮定のもとで証明した．実際には，良還元を双有理同値と体の不分岐拡大とを許したクラスまでに一般化した，本質的良還元と呼ばれる概念を定義し，S外で本質的良還元を持つ多様体の有限性を証明した．証明の手法は，K3曲面の場合と同様，Deligne-Lusztig多様体と関係の深い志村多様体を用いたものであり，新たなインプットとして，これまで得られていた既約シンプレクティック多様体に対するtwistの有限性の結果を用いた．また，応用として，既約シンプレクティック多様体の二次のl進コホモロジーの不分岐性と本質的良還元との関係に一定の考察を与えた．この結果は L. Fu, Z. Li, H.Zou 氏らとの共同研究として，すでに論文にまとめ，arXivに公開している．一方で，数論幾何学において重要である，正標数の代数幾何学について，さらなる研究を行った．これまで極小モデル理論において重要な役割を担ってきたF-分裂の一般化である，準F-分裂という概念がある．私は，河上龍郎氏，吉川翔氏と共同で，この準F-分裂という概念の判定法の研究を行った．この結果はすでに論文にまとめ，近日中にarXivに公開する予定である．