直交多項式と可積分系による逆平面分割の解析

逆平面分割は「よい」母関数，すなわち解析しやすい積の形に表せる母関数を持つ組合せ論的オブジェクトであり，組合せ論分野において重要な研究対象である．本研究の主目的は，逆平面分割およびそれに類する組合せ論的オブジェクトに対して，よい母関数を新規に発見・構成することである．本研究の特色は，よい母関数を構成するために直交多項式および可積分系を利用する点にある．本研究の3年目までの期間において，逆平面分割のよい母関数を，離散二次元戸田方程式という可積分系の解から構成する手法を開発した．本研究の4年目にあたる令和4年度では，この手法の新しい応用として，平面上の格子路（ランダムウォーク）および逆平面分割をランダムに生成するための乱択アルゴリズムを，離散二次元戸田方程式に基づき開発した．本アルゴリズムは，可積分系の解から逆平面分割のよい母関数をつくるという本研究のアイデアを，ある意味で逆転して得たものである．同様の目的で考案された既存のアルゴリズムと比較するとき，本アルゴリズムの新規性および利点は次の（i）と（ii）を両立している点にある．（i）適用範囲の広さ：一様分布とは限らない多様な確率分布に対して，まったく同じ方法で逆平面分割を生成することができる．確率分布の多様性は，基盤に据えた離散二次元戸田方程式の解の多様性に直接由来する．（ii）高速性：同様の目的で考案された既存の最速アルゴリズムと比較して，理論的な時間計算量は同程度である．実際の数値実験では，Borodin-Gorinのアルゴリズム（2009）よりも2倍弱速く，Krattenthalerのアルゴリズム（1999）より10倍弱遅いことが確認された．ただしこれら既存の手法は（i）の機能を持たない．

逆平面分割は「よい」母関数，すなわち解析しやすい積の形に表せる母関数を持つ組合せ論的オブジェクトであり，組合せ論分野において重要な研究対象である．本研究の主目的は，逆平面分割およびそれに類する組合せ論的オブジェクトに対して，よい母関数を新規に発見・構成することである．本研究の特色は，よい母関数を構成するために直交多項式および可積分系を利用する点にある．本研究の3年目までの期間において，逆平面分割のよい母関数を，離散二次元戸田方程式という可積分系の解から構成する手法を開発した．本研究の4年目にあたる令和4年度では，この手法の新しい応用として，平面上の格子路（ランダムウォーク）および逆平面分割をランダムに生成するための乱択アルゴリズムを，離散二次元戸田方程式に基づき開発した．本アルゴリズムは，可積分系の解から逆平面分割のよい母関数をつくるという本研究のアイデアを，ある意味で逆転して得たものである．同様の目的で考案された既存のアルゴリズムと比較するとき，本アルゴリズムの新規性および利点は次の（i）と（ii）を両立している点にある．（i）適用範囲の広さ：一様分布とは限らない多様な確率分布に対して，まったく同じ方法で逆平面分割を生成することができる．確率分布の多様性は，基盤に据えた離散二次元戸田方程式の解の多様性に直接由来する．（ii）高速性：同様の目的で考案された既存の最速アルゴリズムと比較して，理論的な時間計算量は同程度である．実際の数値実験では，Borodin-Gorinのアルゴリズム（2009）よりも2倍弱速く，Krattenthalerのアルゴリズム（1999）より10倍弱遅いことが確認された．ただしこれら既存の手法は（i）の機能を持たない．