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直交多項式と可積分系による逆平面分割の解析

使用正交多项式和可积系统分析逆平面划分

基本信息

批准号：
19K03402
负责人：
上岡修平
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

逆平面分割は「よい」母関数，すなわち解析しやすい積の形に表せる母関数を持つ組合せ論的オブジェクトであり，組合せ論分野において重要な研究対象である．本研究の主目的は，逆平面分割およびそれに類する組合せ論的オブジェクトに対して，よい母関数を新規に発見・構成することである．本研究の特色は，よい母関数を構成するために直交多項式および可積分系を利用する点にある．本研究の3年目までの期間において，逆平面分割のよい母関数を，離散二次元戸田方程式という可積分系の解から構成する手法を開発した．本研究の4年目にあたる令和4年度では，この手法の新しい応用として，平面上の格子路（ランダムウォーク）および逆平面分割をランダムに生成するための乱択アルゴリズムを，離散二次元戸田方程式に基づき開発した．本アルゴリズムは，可積分系の解から逆平面分割のよい母関数をつくるという本研究のアイデアを，ある意味で逆転して得たものである．同様の目的で考案された既存のアルゴリズムと比較するとき，本アルゴリズムの新規性および利点は次の（i）と（ii）を両立している点にある．（i）適用範囲の広さ：一様分布とは限らない多様な確率分布に対して，まったく同じ方法で逆平面分割を生成することができる．確率分布の多様性は，基盤に据えた離散二次元戸田方程式の解の多様性に直接由来する．（ii）高速性：同様の目的で考案された既存の最速アルゴリズムと比較して，理論的な時間計算量は同程度である．実際の数値実験では，Borodin-Gorinのアルゴリズム（2009）よりも2倍弱速く，Krattenthalerのアルゴリズム（1999）より10倍弱遅いことが確認された．ただしこれら既存の手法は（i）の機能を持たない．

The inverse plane divides the matrix into two parts, and the matrix is divided into two parts. The matrix is divided into two parts, and the matrix is divided into two parts. The main purpose of this study is to develop a new method of inverse plane segmentation and combination theory. The characteristic of this study is that it is composed of orthogonal polynomials and integrals. In this paper, we develop a method for solving the integral system of discrete quadratic equations by inverse plane partition. In the fourth year of this study, the new method was used to generate the discrete quadratic equations in the lattice path on the plane and the inverse plane. In this paper, the solution of integrable system is obtained by inverse plane partition. For the same purpose, the existing problems are examined and compared, and the new characteristics and advantages of the existing problems are discussed in detail in (i) and (ii). (i) Applicable range: one-way distribution, one-way limit, one-way limit. The multiplicity of the exact probability distribution is directly derived from the multiplicity of the discrete quadratic equations. (ii) High speed: the same purpose is to examine the existing fastest speed and to compare the theoretical calculation time with the same degree. In fact, the value of the number is very low, Borodin-Gorin's lost track (2009), Krattenthaler's lost track (1999), and 10 times weaker. The existing technique (i) and the function (ii) are maintained.