The theory of weights, evolution and refinement

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荷重の理論は、作用素の荷重付ノルム不等式を統制するための理論です。それは、作用素の値域に関する情報を陽的に示すことのできる理論です。本研究では、いくつかの作用素について荷重の理論の進化と精密化とを企図しています。Lebesgue測度に変えてHausdorff contentという量により定義されたL^p空間の共役空間の理論は、D. R. Adamsの基本的な論文“Choquet integrals in potential theory”Publ. Mat., 42 (1998), no. 1, 3--66において展開されています。この論文において、基礎付けとなる一つの共役不等式に証明の不備を発見し（不備であることの反例を示しています）、改めてその証明を与えることに成功しました。20年間正しくない可能性のある事実が信じられていたことに驚いています。今年度、この不等式は、Hausdorff contentという量を、さらに2進立方体が造る正作用素に基づくキャパシティーという量に変えた枠組みにおいても成立することを確認しました。この結果は、このキャパシティーにより定義されたL^p空間の共役空間の理論を導くものです。2020年、強力な道具である2進立方体の枠組みを超えて、2進直方体の新たな枠組みの下で開上双対領域においてn重線形埋蔵定理を示すことに成功しました。2022年、これの応用として、doubling荷重が造る直方体型分数冪積分作用素に対するHardy-Littlewood-Sobolevの不等式の成立を確認しました。この定理の立方体バージョンはL. I. Hedbergにより見出された、各点において立方体型分数冪積分作用素をHardy-Littlewoodの最大関数で評価する手法によります。直方体バージョンでは機能しません。