マルコフ過程に対する処罰問題の研究

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マルコフ過程，特に一次元拡散過程及び一次元レヴィ過程に対する処罰問題を通して，処罰問題の構造，更には確率過程そのものの構造を探ることを目的としている．2022年度は主に，重み汎関数を最大値過程とする場合の処罰問題を考察し，いくつかの問題を解決した．１．Najnudel-Roynette-Yor(2007)は，重み汎関数に依らずに処罰問題を統一的に論じるシグマ有限測度を導入し，離散時間マルコフ連鎖(一次元単純対称ランダムウォークを含む)の場合にもこれを構成したが，重み汎関数による個別の収束については何も述べていなかった．そのため，一次元単純対称ランダムウォークに対して重み汎関数が最大値過程の関数である場合の処罰問題を考察し，その収束を証明した．また，極限測度がFujita-Yagishita-Yoshida(2022, preprint)によって導入された離散アゼマ-ヨールマルチンゲールによって特徴付けられることを明らかにした．以上の結果を纏めた論文を現在執筆中である．２．Yano-Yano-Yor(2010)による一次元安定過程の最大値過程による処罰問題の結果において，ある仮定を緩めることに成功した．現在論文を執筆中である．３．処罰問題を含む解説記事を執筆し，それが雑誌「数理科学」(サイエンス社)の2022年11月号に掲載された．４．矢野孝次氏(京都大学)及びC. Profeta氏(フランス・イヴリヴァルデソンヌ大学)との継続している共同研究において，一次元拡散過程の最大値過程による処罰問題を引き続き考察した．現在も共同研究を継続中である．５．L. Chaumont氏(フランス・アンジェ大学)との共同研究において，正の跳びを持たない自己相似マルコフ過程の初到達時刻に関する研究を行った．現在も共同研究を継続中である．