２点境界値問題の解の厳密な個数と分岐現象

一次元 Henon 型方程式の境界値問題の正値対称解の一意性と多重存在性について研究を行った. 問題に含まれるパラメータが特定の狭い範囲の外にあるとき, Pohozaev 型の恒等式を応用することにより, 正値対称解の２個の存在を仮定すると, 矛盾が生じることが証明できる. 残された一意性が不明のパラメータ範囲が狭いことから, すべてのパラメータに対して正値対称解の一意性が成立すると予想されるが, 実際はそうではなく, 残された範囲について数値計算を行うと, ３個の正値対称解が見つかる. 以前から, 以上のことが判明していたが, その多重存在を示す方法を見いだせないままであった. 今回の研究により, 精度保証付き数値計算による計算機援用証明の意味で, 正値対称解の多重存在を証明することができた. 具体的には, 考えている境界値問題の左端点を満たすような初期値問題を考え, その解が考えている区間に零点をもつ, あるいは, もたないという初期値を精度保証付き数値計算によって見つけた. それにより, 零点をもつ初期値ともたない初期値の間に, 境界値問題の解となる初期値が存在することになる. この方法で, ３個の正値偶関数解を見るけることができた.三次元単位球面内の円環領域上の scalar-field 方程式のディリクレ問題について研究を行った. 領域は三次元単位球面から北極と南極を中心とする同じ大きさの小さな２つの測地球を取り除いた円環領域を考えた. そのような問題の極角にのみ既存する正値解の存在性について考察した. 考えている領域は赤道について対称なので, 問題は赤道で対称な解をもち得る．方程式の非線形項の増大度と赤道で対称な解及び非対称な解の一意性と多重存在性についての関係性を明らかにした.

一次元 Henon 型方程式の境界値問題の正値対称解の一意性と多重存在性について研究を行った. 問題に含まれるパラメータが特定の狭い範囲の外にあるとき, Pohozaev 型の恒等式を応用することにより, 正値対称解の２個の存在を仮定すると, 矛盾が生じることが証明できる. 残された一意性が不明のパラメータ範囲が狭いことから, すべてのパラメータに対して正値対称解の一意性が成立すると予想されるが, 実際はそうではなく, 残された範囲について数値計算を行うと, ３個の正値対称解が見つかる. 以前から, 以上のことが判明していたが, その多重存在を示す方法を見いだせないままであった. 今回の研究により, 精度保証付き数値計算による計算機援用証明の意味で, 正値対称解の多重存在を証明することができた. 具体的には, 考えている境界値問題の左端点を満たすような初期値問題を考え, その解が考えている区間に零点をもつ, あるいは, もたないという初期値を精度保証付き数値計算によって見つけた. それにより, 零点をもつ初期値ともたない初期値の間に, 境界値問題の解となる初期値が存在することになる. この方法で, ３個の正値偶関数解を見るけることができた.三次元単位球面内の円環領域上の scalar-field 方程式のディリクレ問題について研究を行った. 領域は三次元単位球面から北極と南極を中心とする同じ大きさの小さな２つの測地球を取り除いた円環領域を考えた. そのような問題の極角にのみ既存する正値解の存在性について考察した. 考えている領域は赤道について対称なので, 問題は赤道で対称な解をもち得る．方程式の非線形項の増大度と赤道で対称な解及び非対称な解の一意性と多重存在性についての関係性を明らかにした.