Research of formal provability by means of the investigation of incompleteness theorems

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(1) 通常，第二不完全性定理の証明においては証明可能性述語は導出可能性条件 D1, D2, D3 を満たすことが想定されているが，他方で Rosser 証明可能性述語など D2 や D3 を満たさないものもあり，そのような証明可能性述語を用いて導出可能性条件と第二不完全性定理の成立に関する詳細な分析をこれまでに行ってきた．今回は証明可能性述語に最低限要求したい D1 以外の一切の条件を満たさない証明可能性述語について，様相論理の観点から分析を行った．具体的には，そのような証明可能性述語に対応する様相論理が，Fitting らによる非正規様相論理 N とちょうど一致することを証明した．更に，N の拡張である N4, NR, NR4 について同様の分析を行った．(2) 上述の (1) の研究に続いて，Hilbert と Bernays による導出可能性条件 M（φ→ψ が証明できれば Pr(φ)→Pr(ψ) も証明できる）を満たす証明可能性述語について，様相論理の観点から分析を行った．非正規様相論理 MN がちょうどそのような証明可能性述語の様相論理であることをはじめとして，MN4, MNP, MNP4, MND についても同様の分析を行った．本研究は金沢大学の小暮晏佳氏との共同研究である．(3) 古典述語論理における基本的な結果のひとつである冠頭標準形定理について，直観主義算術と古典算術の文脈でこれまでに分析を行ってきた．今回はこれらの先行研究が，実際に論理式を同値な冠頭標準形に書き換える作業の観点からも妥当なものであるということの保証を与える研究を行った．本研究は東京理科大学の藤原誠氏との共同研究である．