Stochastic processes of multiple-particle systems with internal degrees of freedom: dynamics and statistical properties

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2022年度の研究実績は下記の2点である。多粒子系の内部自由度として解釈できるダンクル過程のジャンプ過程は粒子の経路に依存すること、またジャンプ過程の動的な振る舞いは粒子間斥力のカプリング定数βが1未満のときに根本的に変わることがJ. Phys. A 53 055204 (2020)に解明された。粒子の経路はダイソン模型によって記述され、β<1のときほぼ確実に粒子の衝突が発生することが知られている。これを踏まえて、このパラメータ領域における衝突時刻をarXiv:2109.08707で研究した。ダイソン模型の自己相似性より衝突時刻はフラクタル構造をもつことが知られており、Liu-Xiaoによる確率過程の原点に戻る時刻のフラクタル次元の定理、及びGraczyk-Sawyerの推移確率分布の漸化式を用いて衝突時刻のフラクタル次元を導出した。粒子の衝突を表す集合は非有界集合であるため、Liu-Xiaoの理論を非有界集合に拡張し、Graczyk-Sawyerの漸化式に加え我々が導出した他の漸化式を用いて衝突時刻のフラクタル次元は0<β<1のときは(1-β)/2で与えられる、という最終結果が得られた。β≧1の場合はフラクタル次元がゼロとなることを踏まえると、フラクタル次元を用いてダイソン模型における粒子衝突を特徴づけることができた。ダイソン模型の確率微分方程式は粒子の衝突が発生するときに特異性を示すため、0<β<1のときの粒子経路の数値サンプリングが困難である。このパラメータ領域でのダンクルジャンプ過程を研究するのに、粒子衝突が再現できるダイソン模型の数値積分手法の開発が必要である。これを目的として、Artemiev-Averinaによる確率微分方程式の積分手法を拡張し、粒子衝突のあるダイソン模型の数値積分法を開発している。今年度以内にこの内容をまとめた論文が完成される予定である。