非圧縮性粘性流体の領域摂動に関する諸問題の数理解析

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今年度は，(1)非定常ストークスの初期値境界値問題における基本解に対するアダマール変分公式の導出，そして，(2)特異摂動条件下における2次元の弾性体の固有値の漸近展開，の2点に焦点を当てて研究を行った．まず，(1)について，昨年度においては，3次元ユークリッド空間上の，滑らかな境界をもつ有界領域上での，同方程式の基本解に対する変分公式の導出について考察した．具体的には，体積を保存する様な領域摂動を考えたときに，ディリクレ境界条件を課した同方程式の基本解が，その正則な領域摂動に対してどのような振る舞いをするかを明示的に表した積分公式の導出について考察した，同問題の解析には，Solonnikov(2007)で構成されたアプリオリ評価が重要な役割を果たす．今年度においては，上述の変分公式を一般の次元に拡張することを目標として，研究を行った．その際，摂動パラメータに関する領域依存性の解析の際に生じる非常に煩雑な計算を処理する必要があり，今年度は主にその解析を行った．さらに，(2)については，2次元空間における穴の開いた領域上における境界条件を課したラメの方程式の固有値の漸近展開について考察した．正則な領域摂動の場合と同様に，本問題を考察する上では，同方程式の固有関数に対する近似固有関数の性質を見極めることが非常に重要である．そこで，今年度においては，すでに構成された同関数がもつより詳細な性質を整備することに成功した．