領域摂動に伴う流体力学の基礎方程式の解の漸近挙動の解析

今年度においては，時間依存領域上でのナビエ・ストークス方程式の初期値境界値問題における弱解の周期解の存在について考察を行った．ナビエ・ストークス方程式の本格的な数理解析は，1934年のLerayによる研究より始まる．それ以来，同方程式の数理解析の研究分野は，様々な方面へ発展がなされ，その中でも，時間依存する領域上における解析は，森本(1971)，井上-脇本(1977)や宮川-寺本(1982)などを始めとして，近年では，Faarwig-小薗-Wegmann(2019)や，Farwig-津田(2022)などの研究が展開されている．さらに一方，時間周期解に関する話題についても，Kanierl-Shinbrot(1967)，宮川-寺本(1982)や岡部(2011)など，これまでに非常に多くの研究成果がある．ここで，時間周期解の存在保証について考察する為には，対流項の制御が問題となっている．これについて，宮川-寺本(1982)においては，境界値の勾配のL^2ノルムの大きさに制限を加えることで，時間周期解の存在を保証していた．そこで，本研究では，宮川-寺本(1982)の条件を緩和することを目的に研究を行った．具体的には，時間依存する領域上において，「大きな境界値」に対する時間周期解の存在を保証する議論を行っている．本問題においては，時間依存する領域上の方程式を固定領域に引き戻し議論する必要がある．またその際，ナビエ・ストークス方程式特有の非圧縮条件を保存した保則変換を用いることが重要であり，固定領域に引き戻された複雑な方程式の扱いが求められる．

今年度においては，時間依存領域上でのナビエ・ストークス方程式の初期値境界値問題における弱解の周期解の存在について考察を行った．ナビエ・ストークス方程式の本格的な数理解析は，1934年のLerayによる研究より始まる．それ以来，同方程式の数理解析の研究分野は，様々な方面へ発展がなされ，その中でも，時間依存する領域上における解析は，森本(1971)，井上-脇本(1977)や宮川-寺本(1982)などを始めとして，近年では，Faarwig-小薗-Wegmann(2019)や，Farwig-津田(2022)などの研究が展開されている．さらに一方，時間周期解に関する話題についても，Kanierl-Shinbrot(1967)，宮川-寺本(1982)や岡部(2011)など，これまでに非常に多くの研究成果がある．ここで，時間周期解の存在保証について考察する為には，対流項の制御が問題となっている．これについて，宮川-寺本(1982)においては，境界値の勾配のL^2ノルムの大きさに制限を加えることで，時間周期解の存在を保証していた．そこで，本研究では，宮川-寺本(1982)の条件を緩和することを目的に研究を行った．具体的には，時間依存する領域上において，「大きな境界値」に対する時間周期解の存在を保証する議論を行っている．本問題においては，時間依存する領域上の方程式を固定領域に引き戻し議論する必要がある．またその際，ナビエ・ストークス方程式特有の非圧縮条件を保存した保則変換を用いることが重要であり，固定領域に引き戻された複雑な方程式の扱いが求められる．