マクスウェルの方程式ならびにラメの方程式に対する逆問題の解析手法の開発

麦克斯韦方程组和拉梅方程组反问题分析方法的发展

基本信息

批准号：
15654015
负责人：
山本昌宏
金额：
$ 2.3万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

ラメ方程式およびマクスウェル方程式を主に等方性のある媒質で考察し、弾性係数などの物理的な性質が空間変数に依存するとする。このとき、境界近くの観測によってそれらの係数を決定するという逆問題の数学解析を行った。この逆問題の物理的な重要性は、たとえば弾性体の逆問題の場合を考えると明らかである;境界での応力に対応する法線微分によって媒質内部の密度分布を決定するという問題になり、地球の内部構造の決定、物理探鉱学および非破壊検査などにおける基本的な問題となる。この種の問題に対しては実用・応用上の必要からおびただしい数値計算結果がある。数学解析からの結果として要求されることは一意性・安定性などの適切性であり、これが未知係数の構成の近似解法のために必要不可欠であるだけではなく、数学の立場から応用分野の研究者に明らかにしなくてはならない知見である。しかしながら世界的にみても数学解析からの決定的な結果は知られていなかったが、数学解析的な成果が本研究計画の枠組みで明らかにされた。研究分担者は主にデイリクレ・ノイマン写像を用いる定式化に関して研究成果を挙げた。この定式化では境界値の観測の反復(一般には無限回)を要求されているが数学的に満足すべき一意性が証明された。研究代表者はCarleman評価とよばれる手法に基づいて有限回の観測データによって本逆問題に関して妥当な条件のもとで領域全体にわたって一次のオーダ(Lipschitz連続性)の安定性を確立した。その結果としてHadamardの意味での適切性を示した。これらの解析的成果は有効な数値解析手法の開発のために有効である。

我们考虑闪光方程和麦克斯韦方程主要在各向同性介质中，并假设诸如弹性模量之类的物理特性取决于空间变量。目前，对反问题进行了数学分析，在该数学分析中，该系数是通过在边界附近的观测值确定的。例如，在考虑弹性身体的反问题情况时，这个反问题的物理重要性很明显。它成为通过与边界处的应力相对应的正常分化来确定培养基内密度分布的问题，并且是确定地球内部结构，物理学和非破坏性测试的基本问题。由于实用和应用需求，这种类型的问题有许多数值计算结果。数学分析所需的是适当性，例如独特性和稳定性，这不仅对于近似未知系数结构的解决方案至关重要，而且还必须从数学角度向应用领域的研究人员揭示的知识。但是，尽管在全球范围内尚未知道数学分析的结论结果，但在该研究项目的框架中阐明了数学分析结果。研究共享者主要使用Deirickle-Neumann地图实现了对制剂的研究结果。这种表述需要（通常是无限）的边界价值观测值的迭代，但在数学上证明了令人满意的唯一性。基于一种称为Carleman评估的方法，首席研究员使用有限的观察数据在合理条件下在合理条件下建立了整个地区一阶（Lipschitz连续性）的稳定性。这导致了哈达姆的意义。这些分析结果可有效开发有效的数值分析方法。