流体問題における粘性係数依存性を克服する有限要素スキームとその高速求解法の確立

克服流体问题中粘度系数依赖性的有限元方案建立及其高速求解方法

• 批准号: 18K13461
• 负责人: 内海 晋弥
• 金额: $ 1.58万
• 依托单位: Gakushuin University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2018-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-18K13461/
• 关键词: ラグランジュ・ガレルキン法; ナヴィエ・ストークス方程式; 数値積分; 移流拡散方程式; L^2 収束次数; 射影法; 圧力安定化法; 曲線に囲まれた領域; 粘性係数依存性; 圧力の誤差評価; 数値解析; 変形エルミート要素; 混合有限要素近似; ストークス方程式; クリロフ部分空間法; 滑らかな領域; ラプラシアンの固有値の包含; オセーン方程式; 有限要素法; 誤差評価; 前処理

(i) 非圧縮粘性流の運動を記述するナヴィエ・ストークス方程式に対する数値解法の一つである，ラグランジュ・ガレルキンを考察している．本手法に特徴的な合成関数を含む積分は厳密に行うことが困難であり，そこに数値積分を用いる近似計算が使われた場合の理論解析は知られていなかった．田端正久氏との共同研究により，時間刻みが小さいという条件下で，三角形（四面体）の内部のみに積分点を持つ数値積分を用いるラグランジュ・ガレルキン法の解の収束性が証明された．また，辺上に積分点を持つ公式を使った時の収束性は証明されていないが，安定に計算できることが実験的に分かった．これらの結果は専門誌への掲載が決定した．(ii) 前年度までに結果を得ていた，オセーン問題のためのラグランジュ・ガレルキン，射影，圧力安定化の3種結合スキームに関して，圧力安定化項のパラメータの取り方を考察した．誤差評価の証明の過程でパラメータの指針はこれまでに分かっていたが，物理量の次元に着目して再考した．移流項の大きさは，パラメータの選択に影響を及ぼすことが分かり，ストークス問題に対してはパラメータ選択を再考する必要があることが分かった．(iii) 1次元移流拡散問題に対するラグランジュ・ガレルキン法を考え，L^2 ノルムでの収束次数を考察した．1次要素を用い，時間刻みが十分小さい場合，拡散係数に依存しない h^{3/2} の L^2 収束次数が得られた．ここで，h はメッシュ代表長を表す．これは，これまで得られていた h^1 の収束次数から改善されている．ある程度一般的な仮定の下で，h^{3/2} は他の手法も含めて現在知られている，拡散係数の小ささに依存しない最良次数の誤差評価である．

（i）我们考虑Lagrange Gallerkin，这是描述不可压缩粘性流动运动的Navier-Stokes方程的数值解决方案之一。包含该方法的合成函数特征的集成很难严格执行，并且当使用数值积分近似计算时，理论分析尚不清楚。与Tabata Masahisa进行的联合研究证明了Lagrange-Gallerkin方法解决方案的收敛性，该方法在时间步长很小的情况下，仅在三角形（Tetrahedron）内使用具有积分点的数值积分。此外，尽管在使用边缘上具有积分点的公式时未证明收敛性，但在实验上发现它可以稳定地计算出来。这些结果决定在专业期刊上发布。 （ii）我们研究了为奥斯森问题的三型耦合方案采用压力稳定项参数的方法，而这已经获得了前一年：lagrangian-gallerkin，投影和压力稳定。参数指南在证明错误评估的过程中已知，但我们重新考虑了物理量的维度。发现对流项的大小会影响参数选择，并且必须重新考虑参数选择，以解决Stokes问题。 （iii）考虑到一维对流扩散问题的拉格朗日 - 加利尔金方法，我们检查了在l^2规范处的收敛顺序。使用一阶元素，当时间步长足够小时，获得了独立于扩散系数的H^{3/2}的L^2收敛顺序。 H代表代表网格领导者。从先前获得的H^1的收敛顺序改善了这一点。在某些一般假设下，H^{3/2}是对最佳阶的错误评估，目前已知，包括其他方法，与扩散系数的较小无关。

项目成果

曲有限要素空間の構成について

关于弯曲有限元空间的组成

• 发表时间: 2019
• 作者: Fukuizumi Reika;Hoshino Masato;Inui Takahisa;内海 晋弥
• 通讯作者: 内海 晋弥

内海 晋弥 の web ページ

内海慎也的网页

Guaranteed bounds for the eigenvalues of Laplacian in curved domains

弯曲域中拉普拉斯算子特征值的保证界限

• 发表时间: 2019
• 作者: 榊原 航也;加藤孝盛;S. Uchiumi;S. Uchiumi
• 通讯作者: S. Uchiumi

曲線で囲まれた領域におけるラプラシアンの固有値の包含について

关于在曲线所包围的区域中包含拉普拉斯算子的特征值

• 发表时间: 2020
• 作者: Koya Sakakibara;内海 晋弥
• 通讯作者: 内海 晋弥

数値積分を用いるLagrange-Galerkinスキームの収束性

使用数值积分的拉格朗日-伽辽金格式的收敛性

• 发表时间: 2018
• 作者: Gustafson Stephen;Inui Takahisa;加藤孝盛;榊原 航也;内海 晋弥，田端 正久
• 通讯作者: 内海 晋弥，田端 正久