曲率の影響を考慮に入れた曲面上の流体運動の数学解析

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本年度は球面上のナヴィエ・ストークス（NS）方程式に対するコルモゴロフ型定常流の安定性に関する以下の研究と論文の執筆を行った。ただしコルモゴロフ型定常流としては球面上のラプラス作用素の第２固有値に対応する緯度のみに依存する球面調和関数から定まる２ジェットのコルモゴロフ型定常流を考えている。１．コルモゴロフ型定常流のenhanced dissipationに関する論文の執筆：昨年度の研究では、粘性係数が十分小さいときにコルモゴロフ型定常流に対する摂動（線形化方程式の解）が通常のエネルギー計算で導かれる減衰よりも速く減衰するというenhanced dissipationが発生するということを確認した。本年度はこの結果を２本の論文にまとめて論文雑誌に投稿し、研究集会で発表した。２．粘性が効かない成分を含む摂動に対するコルモゴロフ型定常流の非線形安定性の研究：球面上のNS方程式について、原点を通る任意の直線の周りの微小回転を表すベクトル場には粘性が効かないことが知られている。そのような成分が定常解の安定性に与える影響を調べるため、本年度は粘性が効かない成分を含む摂動に対するコルモゴロフ型定常流の非線形安定性の研究を行った。その結果、摂動における粘性の効かない成分、すなわちラプラス作用素の第１固有値に対応する固有関数からなる成分は時間発展で変化しないこと、第３以降の固有値に対応する固有関数からなる成分は指数関数的に時間減衰すること、第２固有値に対応する固有関数からなる成分の時間発展は粘性の効かない成分の影響を含む非自励系の線形常微分方程式系で記述されることが分かった。この線形常微分方程式系を解析し、コルモゴロフ型定常流の非線形安定性および時間無限大で摂動がどのような定常状態に近づいていくかを明らかにすることは今後の研究課題である。