高レイノルズ数流れに頑強で領域に柔軟な有限要素/スペクトル法とその解の品質評価

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(i) 流体問題の基礎であるストークス問題をモデルとして考え，流速を有限要素近似し，圧力をスペクトル近似する手法の考察を引き続き行っている．特に，離散ストークス問題の適切性を保証する下限上限条件に現れる定数を数値的に調べ，圧力の精度の良さと適切性を両立させる最適な多項式次数qの定めかたを模索した．前年度には，スペクトル空間の基底に双q次多項式を使っていたが，これを（単なる）q次多項式に置き換えた．この変更により，精度を保ちつつ，下限上限条件定数が改善されることが数値実験により分かった．先行研究で流速，圧力双方にスペクトル基底をもちいた場合に，圧力に（単なる）q次多項式を用いることで，次数に関して頑強な下限上限定数評価が得られていた．これは今回の有限要素/スペクトル法に対応する結果と考えられる．(ii) スペクトル法においては長方形を基準にルジャンドル多項式の直積を基底関数として用いている．有限要素/スペクトル法は，圧力に境界条件がないために，長方形以外の形状に対しても適用可能であるが，長方形と異なる領域においては，基底の形状と関連して，連立一次方程式の反復解法の収束性が悪いことが観察されている．それに対応するため，スペクトル基底の質量行列の逆行列を用いる前処理を作成し，最小残差法に組み込んだところ，収束の改善が確認された．(iii) 曲線で囲まれた領域における残差を把握するため，ストークス問題の曲有限要素解の残差の計算法を定式化した．