Homogenisierung bei der Flüssigphasenepitaxie unter Berücksichtigung elastischer Verformung

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Ziel dieses Projektes ist die Herleitung eines Mehrskalenmodelles zur Beschreibung von Flüssigphasenepitaxie mit Berücksichtigung elastischer Verformungen der Feststoffphase als Folge von sogenannten Misfit-Spannungen des Substrats für technisch relevante Längenskalen. Das Projekt umfasst die formale Herleitung des Modells durch Homogenisierung, die mathematische Validierung durch geeignete Abschätzungen für den Modellfehler, die mathematische Analysis bezüglich Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, die numerische Implementierung, die Validierung durch Vergleich der Ergebnisse numerischer Berechnungen mit experimentellen Messungen, und die Anwendung des Modelles auf noch unverstandene Strukturübergänge im Materialsystem GexSi1−x. Ausgangspunkt des Projektes sind kontinuumsmechanische Beschreibungen der Transportvorgänge in der flüssigen Phase und der elastischen Verformung in der Feststoffphase sowie ein klassischer, auf Burton, Cabrera und Frank (BCF) zurückgehender Ansatz für das Wachstum der Feststoffphase durch Epitaxie. Diese Teilmodelle sind durch Bedingungen gekoppelt, die aus lokalen physikalischen Erhaltungsprinzipien folgen. Das resultierende Gesamtmodell besteht aus gekoppelten freien Randwertproblemen für partielle Differentialgleichungen. Zur Herleitung eines für sehr kleine Skalen der Mikrostrukturen auf der epitaktischen Oberfläche geeigneten Modelles soll ein Homogenisierungsansatz durch formale Zweiskalenentwicklung gekoppelt werden mit Randschichtasymptotiken für die Transportprozesse in der Flüssigphase. Als Ergebnis kann, wie erste Vorarbeiten zeigen, ein Zweiskalenmodell erwartet werden, bei dem mikroskopische Gleichungen für das Wachstum der Feststoffschicht und deren Deformation sowie die Strömung nahe der Feststoffschicht gekoppelt sind mit makroskopischen Gleichungen für die Transportprozesse in der Flüssigphase.Das gewonnene Mehrskalenmodell soll mathematisch validiert werden durch Herleitung einer Abschätzung für den Modellfehler; die insbesondere der Rechtfertigung des formalen Grenzüberganges dient. Des weiteren soll die Lösbarkeit und die Eindeutigkeit der Lösung analysiert werden. Um mathematische Schwierigkeiten bei der Analysis der freien Randwertprobleme zu vermeiden, sind diese Arbeiten für eine Phasenfeldapproximation der freien Randwertprobleme geplant. Das erhaltene Modell soll numerisch implementiert, getestet und durch Vergleiche mit Experimenten validiert und gegebenenfalls verbessert werden. Als Anwendung soll das Modell für Studien noch unverstandener Strukturübergänge im aus technischer Sicht äußerst relevanten Materialsystem GexSi1−x herangezogen werden. Die Antragsteller erhoffen sich daraus verallgemeinerbare Relationen zwischen prozessführenden Parametern und resultierenden Oberflächeneigenschaften. Damit würde unseres Wissens erstmals ein Beitrag geleistet zu dem drängenden Problem der Halbleiterphysik, solche Beziehungen für technisch relevante heteroepitaktisch gezüchtete Materialsysteme für gleichfalls technisch relevante Längen- und Zeitskalen systematisch ableiten zu können.