放物型方程式論の深化と放物型性の起源の探索

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(1) 未知関数の時間微分の冪乗項と空間微分に関する準線形項の二つの非線形項からなる放物型方程式をプロトタイプとする，バナッハ空間における二重非線型抽象方程式に対して，時間周期解の存在が示された．この抽象方程式に対する初期値問題に対しては既に多くの研究があるが，初期値問題に対する二つの非線形項に対する最良の構造条件と，ほぼ同様の条件下で，時間周期解の存在が初めて示された事は意義深い．(2) 我々の構築した非線形境界条件を持つ放物型方程式系の解に対する新たな比較定理を足掛かりにして，ある特殊な非線形境界条件の族 (C)_α ( 0 <α< ∞）が存在して，有界領域における藤田型方程式に対して次の事実が成立する事が示された．(i) (C)_0 は斉次ディリクレ条件，(C)_∞ は斉次ノイマン条件に対応し (ii) あるα_0>0 が存在して0<α<α_0 に対しては，（十分小さい）時間大域正値解が存在するが，α_0<α< ∞ に対しては，時間大域正値解は存在しない．この事実はα_0 が，全空間における藤田型方程式に対する，時間大域正値解の存在・非存在をわける非線形項の冪乗の臨界指数に相当する役割を担っていることを示す，重要な発見である．(3) 斉次ディリクレ境界条件を課した viscous Cahn-Hilliard 方程式の初期値問題の可解性が，従来の条件を大幅に緩和した化学ポテンシャルに対して示された．更に，方程式に含まれる複数のパラメータが零に漸近する時に，解が対応するそれぞれの方程式の解に収束する事が示された．(4) 上記の方程式に対する時間周期問題に関して，上記の事実(3)と同様の事実が示された．