完全圏を軸とする環の表現論の新展開

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本年度は、多元環の表現論における加群圏の部分圏の研究に取り組んだ。前年度から部分圏の単純対象に注目することであるクラスの部分圏が分類できるのではないかと予想していたが、これに成功した。具体的には、煉瓦（brick）という自己準同型環が可除環になる加群を考え、しかも「煉瓦の集合で、その間の準同型が単射に限られる」ようなものを単煉瓦（monobrick）と名付け、これが左Schur部分圏というクラスの部分圏と（単純対象を取ることで）対応することを明らかにした。その特別な場合として、ねじれ自由類という重要なクラスの部分圏を、単純対象側つまり煉瓦側の条件で特徴づけることに成功した。これは長さ有限アーベル圏におけるねじれ自由類の初めての包括的な記述である。次に、左Schur部分圏の大きなクラスであるICE閉部分圏（像・余核・拡大を取る操作で閉じた部分圏）というものを導入し、これについて詳しく調べた。まず箙の表現圏の場合にこれがrigid加群と一対一対応することを示し、ICE閉部分圏が豊かな構造を持つことが示唆された。次に一般のアーベル圏でのICE閉部分圏を、よく研究がなされているねじれ類を用いて記述・分類することに成功した（名古屋大学の酒井氏との共同研究）。これは、ねじれ類のなす順序集合の区間が与えられるとheartという加群圏の部分圏が自然にできるが、これを用いたものである。これにより現代の多元環の表現論の一つの重要な結果である「Adachi-Iyama-Reitenによるねじれ類とτ傾加群との全単射」を拡張するICE閉についての全単射を与えた。最後に区間のheartについて、アーベル圏と限らないextriangulated圏で考察し、山口大の足立・塚本氏との共同研究で、アーベル圏の部分圏と三角圏のt構造について知られていた結果を統一した。