K3曲面上の層のモジュライ空間

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２０２２年度に実施した研究の成果を以下の通りである．K3曲面は2次元のカラビ・ヤウ多様体であり，その層のモジュライ空間は既約な正則シンプレクティック多様体の例を与えるため，非常に重要な対象として盛んに研究されている．一方で，非可換な次数付き代数に関しても射影多様体の類似の構成がArtin-Zhangによって与えられており，このクラスにおいても非可換射影K3曲面上の層のモジュライ空間の性質を調べることは重要な課題の一つと考えられる．しかしながら，非可換射影K3曲面の例の構成は，金沢氏よる射影空間の超曲面の非可換類似の場合のみしか，報告者の知る限りは存在しないことが一つの研究を進める上での懸念事項となっていた．報告者は２０２２年度，この非可換射影K3曲面，もっと一般に非可換射影カラビ・ヤウ多様体の新たな例の構成を行うことに成功した．さらに具体的に記述すると，重み付き射影空間の超曲面と射影空間の積の完全交差の非可換類似としてそれぞれの場合について，新たな非可換射影カラビ・ヤウ多様体の構成を行った．前者の結果は先に書いた先行結果の一般化となる結果となっており，後者の結果は非可換射影カラビ・ヤウ多様体の研究の新たな方向性を示唆するものとなっている．また，本結果により非可換射影K3曲面の例をより多く得られるために，将来のその上の層のモジュライ空間の研究にさらに具体性をもたらすことができる．加えて，金沢氏によって得られた3次元の非可換射影カラビ・ヤウ多様体に関してはLiuによってその上のドナルドソン・トーマス不変量の計算が試みられており，本研究で得られた結果に関してもその上のドナルドソン・トーマス不変量の計算が今後の重要な課題の一つになり得ると考えられる．得られた研究成果は論文にまとめ，現在学術誌へ投稿中である