正標数代数多様体の射影構造に関する新たな幾何学への展開

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当研究課題の中心的対象であるFrobenius射影構造は，標数p>0の代数多様体上で定義される然るべき平坦主束であり，底空間が代数曲線の場合にdormant PGL(2)-operと呼ばれる対象と同値である．PGL(2)-operおよびその高階数版であるPGL(n)-operにおけるdormancy conditionは，対応する線形常微分方程式の解の代数性と密接に結びついている．標数0の代数曲線とその法p還元の上でそれぞれ定まるoperや線形常微分方程式の解の代数性の繋がりを理解することは，Grothendieck-Katz予想に関連する研究をはじめとして様々な関心が寄せられている．そこで当該年度では，標数pのhigher-level dormant operを分類するモジュライ空間の基礎理論を展開し，p冪標数のoperとの数論的観点に基づく対応関係を明らかにした．具体的には，標数pの点付き安定曲線上のhigher-level dormant PGL(n)-operを分類するコンパクトモジュライ空間を構成し，関連する様々な幾何的性質（平滑性，n=2における生成的エタール性など）を示した．これらは，p進タイヒミュラー理論のなかで明らかにされた様々な事実の一般化と捉えられるものである．そして然るべき複体のコホモロジー群による変形空間の計算を適用することにより，dormant PGL(2)-operのp冪標数への標準的持ち上げ（対角持ち上げ）を構成した．また，別の研究では，ガウス写像から生じるhigher-level dormant PGL(2)-operに関する研究を行なった．その結果，今までほとんど知られていなかった具体例を（任意のlevelにおいて）得ることができた．以上の成果は論文（arXiv: 2209.08526, 2209.08528）にまとめられている．