Developing a Laplacian-spectrum-based methodology for detailed modelling of complex networks

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本研究は，ネットワーク上でのランダムウォークを表すラプラシアン（行列）の固有値および固有ベクトルを通して，現実にあるネットワークの構造を理解するとともに数理モデル化しようとするものである．第一年度である2022年度は，研究実施の期間が6ヶ月間であったため，主に次年度以降の準備を行うこととなった．本研究の目的を達成するには，現実の大規模なネットワーク・データから得られるラプラシアンに対して固有値・固有ベクトル（ラプラシアン・スペクトル）を求める方法を実装する必要がある．まず，ネットワークの要素（ノード）が1000万規模までのネットワークに対しては，計算機のメモリを増強することで，多くの場合，固有値計算に用いられることが多いLanczos法を用いて現実的な時間内で1000個程度の固有値・固有ベクトルの組を求めることができると確認した．これにより当該規模のネットワークの大域的な構造を分析することは可能となる．また，それ以外の固有値の大まかな分布を計算することも重要であるが，文献調査により，複素解析における「留数定理」を応用することで，一定領域内にある固有値の個数を求めるための並列演算手法が，理論的には問題なく構成できることを確認した．これを実装するための準備として，NVIDIA社のGPU（並列演算装置）を購入し，既存の計算機に取り付けてセットアップを完了した．また，具体的な現実のネットワークのデータおよび数理モデルから得られるランダムなネットワークに対して，ラプラシアン・スペクトルを試験的に計算し，既知の近似理論による値と比較することで，近似値との「ずれ」から理論が欠けている箇所を特定することができた．この箇所はネットワークの大域的構造の理解の根本にも関わる点であり，次年度以降，この点の解決によりネットワーク型データのモデリングのための基礎理論を整理することを試みる．