generalized Kac-Moody algebraの構造と表現の研究

位数最大の散在型有限単純群であるMonster群Mに関するmoonshine予想の研究において、Borcherdsはgeneralized Kac-Moody algebra(=GKM環)と呼ばれる無限次元リー環の新しいクラスを導入した。これは、1960年代の終わりにKacとMoodyにより有限次元単鈍リー環の拡張として導入されたKac-Moodyリー環を、さらに一般化したものであった。私は先ず、GKM環g上の既約最高ウエイト表現L(λ)の指標公式を、その最高ウエイトλε〓が、必ずしも全てのreal coroot上で整数値ではないが、その値があるrealcoroot上で整数であるならそれは非負でなければならない、という条件を満たす時に、得た。これは、Kac-Moodyリー環の場合のKac-Wakimotoによる指標公式の拡張となっている。又、全てのsimple coroot上で非負の有理数値を取るウエイトΛε〓をWeyl群Wのドットo作用で動かしたものωoΛを最高ウエイトとするg上の既約最高ウエイ卜表現L(woΛ)の指標を、Kazhdan-Lusztig多項式と呼ばれる多項式を用いて記述する指標公式を、Kac-Moodyリー環の場合の柏原-谷崎の結果を用いる事により、得た。さらに、gが有限、又はaffine型のKac-Moodyリー環の場合に、Dynkin図形のdiagramautomorphismから“symmetric"ウエイトλε〓を最高ウエイトとする既約最高ウエイト表現L(λ)上に誘導されるintertwinerの、各ウエイト空間上のトレースの母関数であるtwining characterに関する公式を、λはもはや優正形式ではないが、(上記の)Kac-Wakimoto型の場合の条件に加えてさらにある良い性質を持つ場合に、得た。

位数最大の散在型有限単純群であるMonster群Mに関するmoonshine予想の研究において、Borcherdsはgeneralized Kac-Moody algebra(=GKM環)と呼ばれる無限次元リー環の新しいクラスを導入した。これは、1960年代の終わりにKacとMoodyにより有限次元単鈍リー環の拡張として導入されたKac-Moodyリー環を、さらに一般化したものであった。私は先ず、GKM環g上の既約最高ウエイト表現L(λ)の指標公式を、その最高ウエイトλε〓が、必ずしも全てのreal coroot上で整数値ではないが、その値があるrealcoroot上で整数であるならそれは非負でなければならない、という条件を満たす時に、得た。これは、Kac-Moodyリー環の場合のKac-Wakimotoによる指標公式の拡張となっている。又、全てのsimple coroot上で非負の有理数値を取るウエイトΛε〓をWeyl群Wのドットo作用で動かしたものωoΛを最高ウエイトとするg上の既約最高ウエイ卜表現L(woΛ)の指標を、Kazhdan-Lusztig多項式と呼ばれる多項式を用いて記述する指標公式を、Kac-Moodyリー環の場合の柏原-谷崎の結果を用いる事により、得た。さらに、gが有限、又はaffine型のKac-Moodyリー環の場合に、Dynkin図形のdiagramautomorphismから“symmetric"ウエイトλε〓を最高ウエイトとする既約最高ウエイト表現L(λ)上に誘導されるintertwinerの、各ウエイト空間上のトレースの母関数であるtwining characterに関する公式を、λはもはや優正形式ではないが、(上記の)Kac-Wakimoto型の場合の条件に加えてさらにある良い性質を持つ場合に、得た。