一般化されたKac-Moodyリー環の表現の研究

generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebra)は、近年Borcherdsにより、位数最大の散在型有限単純群であるMonster群の無限次元表現moonshine moduleの研究の過程において導入された概念であり、Kac-Moodyリー環の自然な一般化ともなっている。今、g(A)を、対称なGGCMと呼ばれる行列Aに付随するGKM algebra、p^-をそのopposite parabolic subalgebra、そしてu^-はp^-のnilpotent radical、mはp^-のmaximal reductive subalgebraであるとする。このとき、自明な一次元加群Cに係数を持つu^-のホモロジー群Hp(u^-,C)(p【greater than or equal】0)の、m-加群としての既約分解を決定する事は非常に重要な問題であり、mがKac-Moodyリー環の場合には、既に解決されている。特に、p^-がopposite Borel subalgebra b^-であるときは、このホモロジー群の指標の交代和を取る事により、ある種の離散部分群に関する有理型保型形式が得られる事が分かっている。ところが、mが必ずしもKac-Moodyリー環でない場合、即ち、一般のGKM環である場合には、カテゴリーOに属するGKM環上の加群が完全可約である為の良い十分条件が知られていなかった事もあって、あまり調べられていなかった。私は、この完全可約性の為の(かなり一般的な)一つの十分を得、それを利用して、ある条件の下でホモロジー群Hp(u^-,C)がm-加群として完全可約である事を示し、そのm-既約成分への直和分解を決定した。さらに、今後の計画としては、この結果をGKM環のroot multiplicity等の研究に応用する事を考えている。

generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebra)は、近年Borcherdsにより、位数最大の散在型有限単純群であるMonster群の無限次元表現moonshine moduleの研究の過程において導入された概念であり、Kac-Moodyリー環の自然な一般化ともなっている。今、g(A)を、対称なGGCMと呼ばれる行列Aに付随するGKM algebra、p^-をそのopposite parabolic subalgebra、そしてu^-はp^-のnilpotent radical、mはp^-のmaximal reductive subalgebraであるとする。このとき、自明な一次元加群Cに係数を持つu^-のホモロジー群Hp(u^-,C)(p【greater than or equal】0)の、m-加群としての既約分解を決定する事は非常に重要な問題であり、mがKac-Moodyリー環の場合には、既に解決されている。特に、p^-がopposite Borel subalgebra b^-であるときは、このホモロジー群の指標の交代和を取る事により、ある種の離散部分群に関する有理型保型形式が得られる事が分かっている。ところが、mが必ずしもKac-Moodyリー環でない場合、即ち、一般のGKM環である場合には、カテゴリーOに属するGKM環上の加群が完全可約である為の良い十分条件が知られていなかった事もあって、あまり調べられていなかった。私は、この完全可約性の為の(かなり一般的な)一つの十分を得、それを利用して、ある条件の下でホモロジー群Hp(u^-,C)がm-加群として完全可約である事を示し、そのm-既約成分への直和分解を決定した。さらに、今後の計画としては、この結果をGKM環のroot multiplicity等の研究に応用する事を考えている。